3章 ディラック場(9)

"3.2 The Dirac Equation" の2回目を読んでいきたいと思います。

次に、回転グループの4次元表現のディラック行列 を見つけます。これらの行列は少なくとも4×4でなければならないことがわかります。 (たとえば、4つの2×2行列はなく、3つのパウリシグマ行列との反交換になります。)さらに、ディラック代数のすべての4×4表現は単一的に等価です。 したがって、ディラック代数の明示的な実現を1つ記述するだけで済みます。 2×2ブロック形式の1つの表現は

 

です。この表現は、ワイル表現またはカイラル表現と呼ばれます。 これは特に便利な選択肢であり、本書全体で使用します。 (ただし、γが対角であるカイラル表現を使用する多くの場の理論の教科書では、さらに、カイラル表現を使用する本では、記号の表記法の選択方法が異なります。)
この表現では、ブースト生成子と回転生成子は

 



 

です。
(3.26)と(3.27)に従ってブーストと回転の下で変形する4成分場 は、ディラックスピノルと呼ばれます。回転 は、2回複製された3次元スピノル変換行列(3.24)にすぎないことに注意してください。ブースト生成子 はエルミートではないため、ブーストの実装はユニタリーではありません(これはベクトル表現(3.18)にも当てはまりました)。 実際、ローレンツ群は "非コンパクト"であり、ユニタリーの忠実な有限次元表現を持ちません。 しかし、 は波動関数ではないので、それは私たちには関係ありません。 それは古典場です。

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