「黒体放射と宇宙の初期の歴史(1)」の数式の検討(その2)

次の式を導出しようと思います。

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★ 動径変数 に到達するのに必要な固有時間

 
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の関係を導出して1回の積分で求めたいと思って、 いろいろ考えたのですが、結局「一般相対論入門」の考え方を参考にしました。これは、「時空の力学」にも書いてあるんですが、作用

 
を最小にするように質点粒子は運動するということです。つまりラグランジアンを

 
としてオイラーラグランジェ方程式を使うことが出来るということです。ただし、拘束条件として

 
が付きます。
この場合、 として良いので、


 

いっぽう、拘束条件は

 

ですが、少し変形すると

 

つまり

 

です。まず、

 

から、オイラーラグランジェ方程式は( を定数として)

 

となります。これを拘束条件の式に代入すると、

 

となり、質点の運動は

 
となりますが、後のことを考えて変数を書き換えます。

 

ここで、中心に向かう運動を考えているので、マイナス(-)符号をとり、初期値 で停止していると考えると、

 
よって、

 
  
最終的に

 
となります。

長くなりましたので、後半は後記事で。。


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