「積率母関数と中心極限定理(2)」への質問に対する説明

積率母関数と中心極限定理(2)」に chrono さんから質問をいただきました。本来なら記事本文に追記すればよいのでしょうが、 7年前の記事を変更するのは結構手間が掛かるので、新しい記事にして書いてみたいと思います。

元々現代統計学小事典の受け売りなので、よく理解していなかったのでしょう。説明がぞんざいだったかも知れません。
私自身は統計学を深く勉強したことがないので、これからの説明は数学的厳密さは欠けると思いますが、ご了承下さい。

まず、次式から説明します。

 

右辺を計算するのですが、期待値はEの中の変数とその出現確率を掛けて合計したものですね。したがって

 

ですが、 は平均ゼロ、分散1の正規分布の確率変数なので、

 

したがって、

 
  
  
  
  
  

ですが、

 

から、

 

としても良いでしょう。つまり
 
 

となります。
これは前の記事にも書きましたが、上式の右辺を別の考えで展開すると、

 
  

よって、

 

が成立します。さらに両辺を n 乗して、

 

となり、右辺は n → ∞ で指数関数の形になります。

 

問題となった左辺は、最初にあげた式から

 

と解釈します。つまり、

 
  

で、これは

 

の積率母関数に他なりません。
後は「積率母関数と中心極限定理(2)」に書いたような論理になります。


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