３章ディラック場（２）: T

2020年06月30日

３章ディラック場（２）

"3.1 Lorentz Invariance in Wave Equations" の２回目を読んでいきたいと思います。

例として、クライン・ゴルドン理論を考えます。
任意のローレンツ変換を4×4行列 $\110dpi \Lambda$ の

　 $x^{\mu }\to{x}'^{\mu }= \Lambda {^{\mu }}_{\nu }x^{\nu }\; \; \; \; \; \; \; \; (3.1)$
として記述できます。この変換の下でクライン・ゴルドン場 $\110dpi \phi (x)$ はどうなるでしょう？場 $\110dpi \phi$ は、空間全体に分布するある量の局所値を測定するものと考えてください。 $\110dpi x=x_{0}$ でこの量の累積がある場合、 $\110dpi \phi (x)$ は $\110dpi x_{0}$ で最大になります。元の分布をブーストで変換すると、新しい分布は $\110dpi x=\Lambda x_{0}$ で最大になります。これを図3.1（a）に示します。場の対応する変換は

　 $\phi (x)\to{\phi }'(x)= \phi \left ( \Lambda ^{-1} x\right )\; \; \; \; \; \; \; \; (3.2)$
これは、ブーストされた点で評価された変換後の場は、ブースト前の点で評価された元の場と同じ値になります。

この変換により、クライン・ゴードン・ラグランジアンの形が変化しないことを確認する必要があります。（3.2）式によれば、質量項 $\110dpi \frac{1}{2}m^{2}\phi ^{2}(x)$ は点（ $\110dpi \Lambda ^{-1}x$ ）に単純にシフトされます。 $\110dpi \partial _{\mu }\phi (x)$ の変換は
　 $\partial _{\mu }\phi (x)\to \partial _{\mu }\left ( \phi\left ( \Lambda ^{-1} x\right ) \right )= \left ( \Lambda ^{-1} \right ){^{\nu }}_{\mu }(\partial _{\mu }\phi )\left ( \Lambda ^{-1} x \right )\; \; \; \; \; \; \; \; \; (3.3)$
計量テンソル $\110dpi g^{\mu \nu }$ はローレンツ不変なので、行列 $\110dpi \Lambda ^{-1}$ は恒等式

　 $\left ( \Lambda ^{-1} \right ){^{\rho }}_{\mu }\left ( \Lambda ^{-1} \right ){^{\sigma }}_{\nu }g^{\mu \nu }= g^{\rho \sigma }\; \; \; \; \; \; \; \; \; (3.4)$
に従います。この関係を使用して、クライン・ゴルドン・ラグランジアンの運動項の変換法則を次のように計算できます。

　 $\left ( \partial _{\mu } \phi (x)\right )^{2}\;\to\; g^{\mu\nu} \left ( \partial _{\mu }{\phi }'(x) \right )\left ( \partial _{\nu }{\phi }'(x) \right )$
　　　 $= g^{\mu\nu} \left [ \left ( \Lambda ^{-1} \right ){^{\rho }}_{\mu }\partial _{ \rho }\phi \right ]\left [ \left ( \Lambda ^{-1} \right ){^{\sigma }}_{\nu }\partial _{ \sigma }\phi \right ]( \Lambda ^{-1}x)$
　　　 $= \left ( \Lambda ^{-1} \right ){^{\rho }}_{\mu }\left ( \Lambda ^{-1} \right ){^{\sigma }}_{\nu } g^{\mu\nu} \left ( \partial _{ \rho }\phi \right )\left ( \partial _{ \sigma }\phi \right )( \Lambda ^{-1}x)$
　　　 $= g^{\rho \sigma } \left ( \partial _{ \rho }\phi \right )\left ( \partial _{ \sigma }\phi \right )( \Lambda ^{-1}x)= \left ( \partial _{ \mu }\phi \right )^{2}( \Lambda ^{-1}x)$
したがって、ラグランジアン全体は単純にスカラーとして変換されます。

　 $\mathcal{L}(x)\;\to \; \mathcal{L}(\Lambda^{-1} x)\; \; \; \; \; \; \; \; \; (3.5)$
$\110dpi \mathcal{L}$ を時空間で積分することによって形成される作用 $\110dpi S$ は、ローレンツ不変です。
同様の計算は、運動方程式が不変であることを示しています。
　
$\left ( \partial ^{2}+m^{2} \right ){\phi }'(x)= \left [(\Lambda ^{-1}){^{\nu }}_{\mu }\partial _{\nu } (\Lambda ^{-1})^{\sigma \mu }\partial _{\sigma } +m^{2}\right ]\phi (\Lambda ^{-1}x)$
　　　 $=\left (g^{\nu \sigma }\partial _{\nu } \partial _{\sigma } +m^{2} \right )\phi (\Lambda ^{-1}x)= 0$