測地線方程式のちょっとしたおさらい

ちょっと、発作的に測地線方程式導出を考えます。「時空の力学」の P26~28 あたりを参考にしました。

等価原理から、自由落下する物体の近傍時空では局所慣性系(ミンコフスキー座標 )がとれて、重力は消去されて、物体は等速運動します。よって運動方程式は

 

ここで固有時は

 

で定義されます(東海岸方式を採用していることに注意)。
ここで、局所慣性系(ミンコフスキー座標 )ではなくて、一般的な座標系 で表すことを考えます。局所慣性系と一般的な座標系は分かっているとして

 

と書きます。よって、

 
   
  

から運動方程式は

 

となりますが、 を両辺にかけて和をとることを考えると、左辺は

 
  
    

ここで、

 

とすると、運動方程式は最終的に

 

となります。


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