## 「2章 クラインゴードン場（13）」の数式の検討(その１)

その前に、交換関係をおさらいしておきましょう。

$[\phi (t,\boldsymbol{x}),\phi (t,{\boldsymbol{x}}')]= 0\; ,\; [\pi (t,\boldsymbol{x}),\pi (t,{\boldsymbol{x}}')]= 0$
$[\phi (t,\boldsymbol{x}),\pi (t,{\boldsymbol{x}}')]=i\delta ^{(3)}(\boldsymbol{x}-{\boldsymbol{x}}')$

これを前提に計算すると、

$[\phi (t,\boldsymbol{x}),\left ( \phi (t,{\boldsymbol{x}}') \right )^{2}]=[\phi (t,\boldsymbol{x}),\phi (t,{\boldsymbol{x}}')]\phi (t,{\boldsymbol{x}}')+\phi (t,{\boldsymbol{x}}')[\phi (t,\boldsymbol{x}),\phi (t,{\boldsymbol{x}}')]$
$=2\phi (t,{\boldsymbol{x}}')[\phi (t,\boldsymbol{x}),\phi (t,{\boldsymbol{x}}')]= 0$
$[\phi (t,\boldsymbol{x}),\left ( \pi (t,{\boldsymbol{x}}') \right )^{2}]=[\phi (t,\boldsymbol{x}),\pi (t,{\boldsymbol{x}}')]\pi (t,{\boldsymbol{x}}')+\pi (t,{\boldsymbol{x}}')[\phi (t,\boldsymbol{x}),\pi (t,{\boldsymbol{x}}')]$
$=2\pi (t,{\boldsymbol{x}}')[\phi (t,\boldsymbol{x}),\pi (t,{\boldsymbol{x}}')]= 2i\pi (t,{\boldsymbol{x}}')\delta ^{(3)}(\boldsymbol{x}-{\boldsymbol{x}}')$

また

$[\phi (t,\boldsymbol{x}),\nabla_{{x}'}\phi (t,{\boldsymbol{x}}')]=\nabla_{{x}'}[\phi (t,\boldsymbol{x}),\phi (t,{\boldsymbol{x}}')]= 0$

から

$[\phi (t,\boldsymbol{x}),\left (\nabla_{{x}'} \phi (t,{\boldsymbol{x}}') \right )^{2}]$
$=[\phi (t,\boldsymbol{x}),\nabla_{{x}'}\phi (t,{\boldsymbol{x}}')]\nabla_{{x}'}\phi (t,{\boldsymbol{x}}')+\nabla_{{x}'}\phi (t,{\boldsymbol{x}}')[\phi (t,\boldsymbol{x}),\nabla_{{x}'}\phi (t,{\boldsymbol{x}}')]$
$=2\nabla_{{x}'}\phi (t,{\boldsymbol{x}}')[\phi (t,\boldsymbol{x}),\nabla_{{x}'}\phi (t,{\boldsymbol{x}}')]=0$

$[\pi (t,\boldsymbol{x}),\left ( \pi (t,{\boldsymbol{x}}') \right )^{2}]=0$
$[\pi (t,\boldsymbol{x}),\left ( \phi (t,{\boldsymbol{x}}') \right )^{2}]=2 \phi (t,{\boldsymbol{x}}')[\pi (t,\boldsymbol{x}), \phi (t,{\boldsymbol{x}}')]= -2i\phi (t,{\boldsymbol{x}}')\delta ^{(3)}({\boldsymbol{x}}'-\boldsymbol{x})$

さらに

$\nabla_{{x}'}\left ( [\pi (t,\boldsymbol{x}), \phi (t,{\boldsymbol{x}}') ] \nabla_{{x}'}\phi (t,{\boldsymbol{x}}')\right )$
$= [\pi (t,\boldsymbol{x}), \nabla_{{x}'} \phi (t,{\boldsymbol{x}}') ] \nabla_{{x}'}\phi (t,{\boldsymbol{x}}')+[\pi (t,\boldsymbol{x}), \phi (t,{\boldsymbol{x}}') ] \nabla_{{x}'}^{2}\phi (t,{\boldsymbol{x}}')$

から

$\nabla_{{x}'}\phi (t,{\boldsymbol{x}}')[\pi (t,\boldsymbol{x}), \nabla_{{x}'} \phi (t,{\boldsymbol{x}}') ]$
$= \nabla_{{x}'}\left ( [\pi (t,\boldsymbol{x}), \phi (t,{\boldsymbol{x}}') ] \nabla_{{x}'}\phi (t,{\boldsymbol{x}}')\right )-[\pi (t,\boldsymbol{x}), \phi (t,{\boldsymbol{x}}') ] \nabla_{{x}'}^{2}\phi (t,{\boldsymbol{x}}')$
$=i\delta ^{(3)}({\boldsymbol{x}}'-\boldsymbol{x})\nabla_{{x}'}^{2}\phi (t,{\boldsymbol{x}}')$

であり、これから

$[\pi (t,\boldsymbol{x}),\left (\nabla_{{x}'} \phi (t,{\boldsymbol{x}}') \right )^{2}]$
$=2\nabla_{{x}'}\phi (t,{\boldsymbol{x}}')[\pi (t,\boldsymbol{x}),\nabla_{{x}'}\phi (t,{\boldsymbol{x}}')]$
$= 2i\delta ^{(3)}({\boldsymbol{x}}'-\boldsymbol{x})\nabla_{{x}'}^{2}\phi (t,{\boldsymbol{x}}')$

となります。係数も入れてまとめると

$\left [ \phi (t,\boldsymbol{x}),\frac{1}{2}\left ( \pi (t,{\boldsymbol{x}}') \right )^{2} \right ] = i\pi (t,{\boldsymbol{x}}')\delta ^{(3)}(\boldsymbol{x}-{\boldsymbol{x}}')$
$\left [ \phi (t,\boldsymbol{x}),\frac{1}{2}\left (\nabla_{{x}'} \phi (t,{\boldsymbol{x}}') \right )^{2} \right ] = 0$
$\left [ \phi (t,\boldsymbol{x}),\frac{1}{2}m^{2}\left (\phi (t,{\boldsymbol{x}}') \right )^{2} \right ] = 0$

$\left [ \pi (t,\boldsymbol{x}),\frac{1}{2}\left ( \pi (t,{\boldsymbol{x}}') \right )^{2} \right ] = 0$
$\left [ \phi (t,\boldsymbol{x}),\frac{1}{2}\left (\nabla_{{x}'} \phi (t,{\boldsymbol{x}}') \right )^{2} \right ] =i\delta ^{(3)}({\boldsymbol{x}}'-\boldsymbol{x})\nabla_{{x}'}^{2}\phi (t,{\boldsymbol{x}}')$
$\left [ \pi (t,\boldsymbol{x}),\frac{1}{2}m^{2}\left (\phi (t,{\boldsymbol{x}}') \right )^{2} \right ] =-im^{2} \phi (t,{\boldsymbol{x}}')\delta ^{(3)}({\boldsymbol{x}}'-\boldsymbol{x})$

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