## 「2章 クラインゴードン場（９）」の数式の検討

まず、交換関係の公式

$\left [ AB,C \right ]= A\left [ B,C \right ]+\left [ A,C \right ]B$
$\left [ [A,B],C \right ]= \left [A, [B,C] \right ]+\left [B,[ C,A] \right ]$

から、

$\left [ a_{\boldsymbol{q}}^{\dagger } a_{\boldsymbol{q}}, a_{\boldsymbol{p}}^{\dagger }\right ]= a_{\boldsymbol{q}}^{\dagger }\left [ a_{\boldsymbol{q}}, a_{\boldsymbol{p}}^{\dagger } \right ] +\left [ a_{\boldsymbol{q}}^{\dagger }, a_{\boldsymbol{p}}^{\dagger }\right ]a_{\boldsymbol{q}} = (2\pi )^{3}\delta ^{(3)}(\boldsymbol{q}-\boldsymbol{p})a_{\boldsymbol{q}}^{\dagger }$
$\left [ a_{\boldsymbol{q}}^{\dagger } a_{\boldsymbol{q}}, a_{\boldsymbol{p}}\right ]= a_{\boldsymbol{q}}^{\dagger }\left [ a_{\boldsymbol{q}}, a_{\boldsymbol{p}} \right ] +\left [ a_{\boldsymbol{q}}^{\dagger }, a_{\boldsymbol{p}}\right ]a_{\boldsymbol{q}} = -(2\pi )^{3}\delta ^{(3)}(\boldsymbol{q}-\boldsymbol{p})a_{\boldsymbol{q}}$
$\left [ [a_{\boldsymbol{q}},a_{\boldsymbol{q}}^{\dagger }],a_{\boldsymbol{p}}^{\dagger } \right ]= \left [a_{\boldsymbol{q}}, [a_{\boldsymbol{q}}^{\dagger },a_{\boldsymbol{p}}^{\dagger }] \right ]+\left [a_{\boldsymbol{q}}^{\dagger },[ a_{\boldsymbol{p}}^{\dagger },a_{\boldsymbol{q}}] \right ]= \left [a_{\boldsymbol{q}}^{\dagger }, -(2\pi )^{3}\delta ^{(3)}(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{q}) \right ]=0$
$\left [ [a_{\boldsymbol{q}},a_{\boldsymbol{q}}^{\dagger }],a_{\boldsymbol{p}} \right ]= \left [a_{\boldsymbol{q}}, [a_{\boldsymbol{q}}^{\dagger },a_{\boldsymbol{p}}] \right ]+\left [a_{\boldsymbol{q}}^{\dagger },[ a_{\boldsymbol{p}},a_{\boldsymbol{q}}] \right ]= \left [a_{\boldsymbol{q}}, -(2\pi )^{3}\delta ^{(3)}(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{q}) \right ]=0$

よって

$\left [ H,a_{\boldsymbol{p}}^{\dagger } \right ]= \int \frac{d^{3}q}{(2\pi )^{3}}\: \omega _{\boldsymbol{q}}\left ( \left [ a_{\boldsymbol{q}}^{\dagger }a_{\boldsymbol{q}}, a_{\boldsymbol{p}}^{\dagger }\right ]+\frac{1}{2}\left [[a_{\boldsymbol{q}},a_{\boldsymbol{q}}^{\dagger }] , a_{\boldsymbol{p}}^{\dagger }\right ] \right )$
$= \int d^{3}q\:\omega _{\boldsymbol{q}} \delta ^{(3)}(\boldsymbol{q}-\boldsymbol{p})a_{\boldsymbol{q}}^{\dagger } = \omega _{\boldsymbol{p}}a_{\boldsymbol{p}}^{\dagger }$
$\left [ H,a_{\boldsymbol{p}} \right ]= \int \frac{d^{3}q}{(2\pi )^{3}}\: \omega _{\boldsymbol{q}}\left ( \left [ a_{\boldsymbol{q}}^{\dagger }a_{\boldsymbol{q}}, a_{\boldsymbol{p}}\right ]+\frac{1}{2}\left [[a_{\boldsymbol{q}},a_{\boldsymbol{q}}^{\dagger }] , a_{\boldsymbol{p}}\right ] \right )$
$= -\int d^{3}q\:\omega _{\boldsymbol{q}} \delta ^{(3)}(\boldsymbol{q}-\boldsymbol{p})a_{\boldsymbol{q}} =-\omega _{\boldsymbol{p}}a_{\boldsymbol{p}}$

さて、

$\phi (\boldsymbol{x})= \int \frac{d^{3}p}{(2\pi )^{3}}\: \frac{1}{\sqrt{2\omega _{\boldsymbol{p}}}}\left ( a_{\boldsymbol{p}}e^{i\boldsymbol{p\cdot x}}+ a_{\boldsymbol{p}}^{\dagger }e^{-i\boldsymbol{p\cdot x}}\right )$
$\pi (\boldsymbol{x})= \int \frac{d^{3}q}{(2\pi )^{3}}\:(-i) \sqrt{\frac{\omega _{\boldsymbol{q}}}{2}}\left ( a_{\boldsymbol{q}}e^{i\boldsymbol{q\cdot x}}- a_{\boldsymbol{q}}^{\dagger }e^{-i\boldsymbol{q\cdot x}}\right )$

から

$\nabla\phi (\boldsymbol{x})=i \int \frac{d^{3}p}{(2\pi )^{3}}\: \frac{\boldsymbol{p}}{\sqrt{2\omega _{\boldsymbol{p}}}}\left ( a_{\boldsymbol{p}} e^{i\boldsymbol{p\cdot x}} - a_{\boldsymbol{p}}^{\dagger } e^{-i\boldsymbol{p\cdot x}} \right )$

なので

$\boldsymbol{P}= -\int d^{3}x\: \pi(\boldsymbol{x}) \nabla\phi (\boldsymbol{x})$
$= -\frac{1}{2}\int \frac{d^{3}xd^{3}pd^{3}q}{(2\pi )^{6}} \: \boldsymbol{p} \sqrt{\frac{\omega_{\boldsymbol{q}} }{\omega_{\boldsymbol{p}} }}\left ( a_{\boldsymbol{q}}e^{i\boldsymbol{q\cdot x}}-a_{\boldsymbol{q}}^{\dagger } e^{-i\boldsymbol{q\cdot x}}\right )\left ( a_{\boldsymbol{p}} e^{i\boldsymbol{p\cdot x}} - a_{\boldsymbol{p}}^{\dagger } e^{-i\boldsymbol{p\cdot x}} \right )$
$= \frac{1}{2}\int \frac{d^{3}xd^{3}pd^{3}q}{(2\pi )^{6}} \: \boldsymbol{p} \sqrt{\frac{\omega_{\boldsymbol{q}} }{\omega_{\boldsymbol{p}} }}a_{\boldsymbol{q}}a_{\boldsymbol{p}}^{\dagger }e^{i\boldsymbol{(q-p)\cdot x}}$
$+\frac{1}{2}\int \frac{d^{3}xd^{3}pd^{3}q}{(2\pi )^{6}} \: \boldsymbol{p} \sqrt{\frac{\omega_{\boldsymbol{q}} }{\omega_{\boldsymbol{p}} }}a_{\boldsymbol{q}}a_{\boldsymbol{p}}^{\dagger }e^{i\boldsymbol{(p-q)\cdot x}}$
$= \frac{1}{2}\int \frac{d^{3}pd^{3}q}{(2\pi )^{3}} \: \boldsymbol{p} \sqrt{\frac{\omega_{\boldsymbol{q}} }{\omega_{\boldsymbol{p}} }}a_{\boldsymbol{q}}a_{\boldsymbol{p}}^{\dagger }\delta ^{(3)}(\boldsymbol{q}-\boldsymbol{p})+\frac{1}{2}\int \frac{d^{3}pd^{3}q}{(2\pi )^{3}} \: \boldsymbol{p} \sqrt{\frac{\omega_{\boldsymbol{q}} }{\omega_{\boldsymbol{p}} }}a_{\boldsymbol{q}}a_{\boldsymbol{p}}^{\dagger }\delta ^{(3)}(\boldsymbol{p}-\boldsymbol{q})$
$= \int \frac{d^{3}p}{(2\pi )^{3}} \: \boldsymbol{p} \: a_{\boldsymbol{p}}a_{\boldsymbol{p}}^{\dagger }$

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