2章 クラインゴードン場(8)

"2.3 The Klein-Gordon Field as Harmonic Ocsillators" の3回目を読んでいきたいと思います

調和振動子の集合としてのクライン-ゴードン場(3)

同じトリックを使用してクラインゴードンハミルトニアンのスペクトルを見つけることができますが、フィールドの各フーリエモードは独自の を持つ独立した振動子として扱われます。(2.23) 式からの類推で

 
 

となります。φとπに関する の逆式は簡単に導出できますが、ほとんど必要ありません。
以下の計算では、次のように(2.25)と(2.26)を再配置すると便利です。

 
  

交換関係(2.24)は

 

になり、φとπの交換子が正しく機能することを確認できます:

 
   

(これと次のような計算がなじみがない場合は、慎重に計算してください。少し練習すれば非常に簡単で、次の2つの章の形式論の基礎となります。)

これで、ハミルトニアンを昇降演算子で表現する準備ができました。φとπの表現(2.8)から始めて、次式となります。

 
       
    

第2項は、無限の c 数であるδ(0)に比例します。これは、ゼロ点エネルギーωp/ 2のすべてのモードの単純な合計であるため、多少の混乱が生じても、その存在は完全に予想されます。幸いなことに、実験では H の基底状態からのエネルギー差のみを測定するため、この無限のエネルギーシフトを実験的に検出することはできません。したがって、すべての計算でこの無限の定数項を無視します。この基底状態のエネルギーシフトは、理論のより深いレベルで問題を引き起こす可能性があります。 この問題についてはエピローグで説明します。

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