2章 クラインゴードン場(7)

"2.3 The Klein-Gordon Field as Harmonic Ocsillators" の2回目を読んでいきたいと思います

調和振動子の集合としてのクライン-ゴードン場(2)

φとπの関数であるハミルトニアンも演算子になります。我々の次の仕事は、ハミルトニアンからスペクトルを見つけることです。これを行う明白な方法はなく、フーリエ空間内でクライン・ゴードン方程式を書き、手がかりを求めましょう。古典的なクライン-ゴードン場を

 

が実数になるように)展開すると、クライン-ゴードン方程式(2.7)は

 

になります。これは、角周波数

 

の単純な調和振動子の運動方程式と同じです。

単純な調和振動子のスペクトルを見つける方法をすでに知っています。簡単に思い出してみましょう。ハミルトニアンを

 

として記述します。

 

標準的な交換関係

 

と同等です。ハミルトニアンは

 

に書き換えられるようになりました。 のような状態 は、零点エネルギーである固有値 を持つ の固有状態です。さらに、交換子

 

により、状態

 

が固有値 を持つ の固有状態であることを簡単に検証できます。これらの状態はスペクトルを余すところなく尽くします。


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