2章 クラインゴードン場(6)

"2.3 The Klein-Gordon Field as Harmonic Ocsillators" は場の量子論の中心的話題であるし、長いので数回に分けて読んでいきたいと思います。

調和振動子の集合としてのクライン-ゴードン場(1)

場の量子場の議論は、最も単純なタイプの場、つまり実際のクライン・ゴードン場の形式的な扱いから始めます。考え方は、古典場の理論(ラグランジュ(2.6)によって支配される古典スカラー場の理論)から始めて、それを「量子化」することです†。次に、類推として調和振動子を使用して、ハミルトニアンの固有値と固有状態を見つけることにより、理論を「解決」します。

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†この手順は、結果のクライン-ゴードン方程式(φは演算子)と古典的1粒子クライン-ゴードン方程式(φは波動関数)を区別するために、第2量子化と呼ばれることもあります。この本では、後者の観点を採用しません。 古典的なもの(φは古典的な場)から始めて、一度だけ量子化します。
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前のセクションでは、実際のクライン-ゴードン場の古典理論について簡単に(しかし十分に)議論しました。 関連する式は(2.6)、(2.7)、および(2.8)で与えられます。 理論を量子化するために、他の動的システムと同じ手順に従います:φとπを演算子に昇格させ、適切な交換関係を課します。1つ以上の粒子の離散システムの場合、次の交換関係があることを思い出してください。

 

連続システムの場合、一般化は非常に自然です。 π(x)は運動量密度なので、クロネッカーデルタの代わりにディラックデルタ関数を取得します:

 
  

(ここでは、φとπが時間に依存しないシュレディンガー描像で作業します。次のセクションでハイゼンベルグ描像に切り替えても、両方の演算子が同時に考慮されるという条件で、これらの「等時間」の交換関係が保持されます。)

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