Peskin 2章 クラインゴードン場(1)

基本なので、続けて読んでみます。

2.1 場の視点の必要性

場の量子論は、場の動的システムへの量子力学の応用であり、粒子のシステムにおける基本コースと同じ感覚です。これは、素粒子物理学の現在の状態を理解するために絶対に不可欠な主題です。いくつかの修正を加えて、私たちが議論する方法は、原子物理学、核物理学、および凝縮物性物理学の最も活発な分野でも重要な役割を果たします。 しかし、この本のパートⅠでは、私たちの主な関心は初歩的な、したがって相対論的場にあります。

非常に小さな(量子力学的な)スケールと非常に大きな(相対論的な)エネルギーで起こるプロセスを理解したいのであれば、なぜ場の量子化を研究しなければならないのかと疑問に思うかもしれません。非相対論的粒子を量子化した方法で相対論的粒子を量子化できないのはなぜでしょうか?

この質問には多くのレベルで答えることができます。おそらく最良のアプローチは、単一粒子の相対論的波動方程式(Klein-Gordon方程式やDirac方程式など)を書き留めて、負のエネルギー状態やその他の矛盾を引き起こすことを確認することです。この議論は通常、大学院レベルの量子力学コースの終わり近くで行われるため、ここでは繰り返しません。ただし、このようなアプローチが機能しない理由を理解するのは簡単です。
Einstein に見いだされた関係 では粒子と粒子のペアを作成できるため、相対論的なプロセスを単一の粒子で説明できると仮定する権利はありません。ペア生成に十分なエネルギーがない場合でも、たとえば、二次摂動理論の中間状態として、多粒子状態が現れます。不確定性原理 によれば、このような状態は非常に短時間しか存在しないと考えることができます。摂動論の高次に進むと、任意の多くの「仮想」粒子を作成できます。

多粒子理論を持つ必要性も、因果関係の考慮から、それほど明白ではない方法で生じます。 から に伝播する自由粒子の振幅を考えます。

 

非相対論的量子力学では なので、

 
  
   
  

この式は、すべての についてゼロではありません。これは、粒子が任意の2つのポイント間で任意に短い時間で伝播できることを示します。相対論では、この結論は因果関係の違反を示します。
相対論的表現 の使用が役立つことを望むかもしれませんが、そうではありません。非相対論的な場合と同様に、

 
  
  

この積分は、ベッセル関数の観点から明示的に評価できます。定常状態の方法を使用して、 (光円錐の外側)の漸近的挙動を見ることで甘んじるものになります。位相関数 には に静止点があります。このポイントを通過するように、輪郭を自由に押し上げることができます。この の値を調べてみると、 の有理関数まで

 

であることがわかります。したがって、伝播の振幅は小さいが、光の外側ではゼロではなく、因果関係は依然として違反されます。

場の量子論は、因果関係の問題を奇跡的な方法で解決します。これについては、セクション2.4で説明します。多粒子場の理論では、反粒子が反対方向に伝播することがわかります(図2.1を参照)。ポイント で行われた観測がポイント で行われた観測に影響を与える可能性があるかどうかを尋ねると、粒子と反粒子の伝播の振幅が正確に相殺されるため、因果関係が保持されることがわかります。
量子場の理論は、多粒子状態だけでなく、異なる粒子数の状態間の遷移も処理する自然な方法を提供します。反粒子を導入して因果関係の問題を解決し、スピンと統計の関係を説明します。しかし、最も重要なことは、無数の散乱断面積、粒子寿命、およびその他の観測可能な定量を計算するために必要なツールを提供します。これらの予測の実験的確認は、しばしば前例のないレベルの精度で行われますが、これが量子場の理論を研究する私たちの本当の理由です。

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