「共変成分でベクトルを表わす」の再掲

共変成分でベクトルを表わす」も再掲したいと思います。

ベクトルAを共変成分の和で表わすとどうなるでしょう?

反変成分の場合と同じように考えましょう。つまり、

 
となるでしょう。

共変成分でベクトルを表現_1.jpg

ただ、反変成分の場合と異なるのは の長さが ではなくなります。

[注]-----------------------------------------
くどいですが、 は基底ベクトルで、添え字が上に付いているので反変ベクトルとは考えないでください。なぜ上添え字かというと、 とは異なるので区別するためと、共変成分と組み合わせ、アインシュタインの規約で表現し易くするためです。
--------------------------------------------

反変成分のときと同様に考えると

 
  
同様に

 
アインシュタインの規約を使うと、

  
ここで、行列 を考えると、 といえます。
また、

 
同様に

 
よって

 
なので、 は直交、 も直交することになります。


また、 は直交していないので、 は並行(同じ向き)ではありません。

この状態で、 なのですから、 の長さは1には成りません。 も同様です。

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