「ベクトルの反変成分のイメージ」と「ベクトルの共変成分のイメージ」の再掲

ベクトルの反変成分のイメージ」と「ベクトルの共変成分のイメージ」は14年前の記事なんですが、ときどき関連記事にコメントをいただくので、書き直しておきます。

2つの斜交軸の単位ベクトルを  とすると、任意のベクトル

 
と表されます。

反変ベクトル.jpg

図を見ればお分かりのとおり、ベクトルの足し算(平行四辺形)でとても素直ですね。

この「ベクトルの反変成分」で表したベクトルを「反変ベクトル」と言います。このことは、あまり明確に示されていませんね。「時空と重力」という本には明確に書かれていました。

ついでに「ベクトルの共変成分のイメージ」について書いてみます。

共変ベクトル.jpg

共変成分は、ベクトル と各斜交軸との内積となります。

 
と表されます
詳しく書くと、

 
  
同様に

 
アインシュタインの規約を使うと

 
この「ベクトルの共変成分」で表したベクトルを「共変ベクトル」と言います。

[注]-----------------------------------
太字で書いてあるのでベクトルです。 は基底ベクトルで、単なるベクトルとは違うのですが、ベクトルはベクトルです。
何を言いたいかというと、反変ベクトルとか共変ベクトルとかはどの成分で表すかで決まります。どれで表すかが決まってなければ、ただのベクトルです。良くある勘違いは には下添え字が付いているので共変ベクトルだと思う人が居ることです。この場合添え字は単なる番号であることに注意です。
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