キリング方程式をもう一度おさらい(2)

この記事は「キリング方程式についてちょと勉強(2)」とほとんど同じなるかも知れませんが、虚心坦懐に新たな気持ちで書いてみます。教科書は「一般相対論入門」です。

前記事の結論を添え字を整理して書き換えると

   

となります。さて共変微分は

 

なので、最初の式に適用するために全体に計量テンソルをかけると

 
  

同様に

 

これらも最初の式に代入すると、

 

であり、左辺第一項の添え字を変え整理すると

 

[テンソルの共変微分]----------------------------------------

 
  
  
    
例:

 
 
 
-------------------------------------------------------- 

よって、

 

となりますが、共変微分に対して計量テンソルは定数のように振るまいます。つまり、上式左辺の第三項はゼロになりキリング方程式は

 

とも表現されます。

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