キリング方程式をもう一度おさらい(1)

標題の「キリング方程式」については、「キリング方程式についてちょと勉強(1)」「キリング方程式についてちょと勉強(2)」という記事を書いていますが、忘れてしまったのでまたまたおさらいです。教科書は「一般相対論入門」です。

[前記事からの引用]---------------------------------------

画像


を無限小量として 方向への無限小座標変換:

 

なんか ± 違うような気がしますが、図において例えば 点を 系表わした値と同じ 点を 系表わした値を比べてみると頷けるものです。(注)
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(注)一般相対論で「座標変換」というのは普通、同じ世界点を違う座標系で見た場合をさす。


「時空の対称性」という場合は、「本当に異なる点で比較したときに違いない」という意味です。
よって、ここでは

 点 系での座標成分の値=
 点 系での座標成分の値=

という異なる2点での計量テンソルの値を比較することを考えます。

まず(本来の意味での)座標変換という観点から見ると

 

となります(この式での とは同一の世界点です)。

ここで、

 

から、

 

となるため、

 

もう一度

 

ということを考えると、

 
  
  

ここで、

 

なので、

 
  
  
  

まとめると

 

となります。左辺の 座標系での 、つまり 点での計量テンソルの値を示しており、右辺第1項の 座標系での 、つまり 点での計量テンソルの値を示しています。
そこで、次の量を定義します。

 
  

とすると、 だけ離れた異なる2点 から見て計量テンソルの値が不変、つまり時空が「運動」 に対して対称性を持つ条件は

 

となり、これがキリング(Killing)方程式と呼ばれているようです。

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