## 場の理論入門（３１）

$|\Psi \rangle= A\int_{-\infty }^{\infty }\exp \left [ -\frac{x^{2}}{2D^{2}}+ikx \right ]\widehat{a}^{\dagger }(x)|0\rangle dx$

つまり、波動関数

$\psi (x)= A\exp \left [ -\frac{x^{2}}{2D^{2}}+ikx \right ]$

で書き表わされる１粒子状態である。ここで、

$\langle \Psi | \Psi \rangle= \langle 0 |\int_{-\infty }^{\infty }\psi^{*}({x}')\widehat{a}({x}') d{x}'\int_{-\infty }^{\infty }\psi(x)\widehat{a}^{\dagger }(x) dx | 0 \rangle$
$=\int_{-\infty }^{\infty }\int_{-\infty }^{\infty }\psi^{*}({x}')\psi(x)\left ( \langle 0 | \widehat{a}({x}') \widehat{a}^{\dagger }(x)| 0 \rangle\right ) d{x}'dx$
$=\int_{-\infty }^{\infty }\int_{-\infty }^{\infty }\psi^{*}({x}')\psi(x)\delta ({x}'-x) d{x}'dx$
$=\int_{-\infty }^{\infty }\psi^{*}(x)\psi(x)dx =\int_{-\infty }^{\infty }\rho (x)dx$

つまり

$\rho (x)= \psi^{*}(x)\psi(x) =\left \{ A\exp \left [ -\frac{x^{2}}{2D^{2}}+ikx \right ] \right \}^{*}A\exp \left [ -\frac{x^{2}}{2D^{2}}+ikx \right ]$
$=\left \{ \exp \left [ -\frac{x^{2}}{2D^{2}}-ikx \right ]A^{*} \right \}A\exp \left [ -\frac{x^{2}}{2D^{2}}+ikx \right ]$
$=|A|^{2} \exp \left [ -\frac{x^{2}}{D^{2}} \right ]=|A|^{2} \exp \left [ -\left ( \frac{x}{D} \right )^{2} \right ]$

から

$\langle \Psi | \Psi \rangle=\int_{-\infty }^{\infty }|A|^{2} \exp \left [ -\left ( \frac{x}{D} \right )^{2} \right ]dx$
$=|A|^{2}D\int_{-\infty }^{\infty } \exp \left [ -\left ( \frac{x}{D} \right )^{2} \right ]d\left ( \frac{x}{D} \right )= |A|^{2}D\sqrt{\pi }$

なので、

$A= D^{-1/2}\pi ^{-1/4}$

とすれば、正規化されることになる。
さて、最初の式を波数空間で表わすことを考える。

$|\Psi \rangle= A\int_{-\infty }^{\infty }\exp \left [ -\frac{x^{2}}{2D^{2}}+ikx \right ]\widehat{a}^{\dagger }(x)|0\rangle dx$
$= A\int_{-\infty }^{\infty }\exp \left [ -\frac{x^{2}}{2D^{2}}+ikx \right ]\left \{ \int_{-\infty }^{\infty }\frac{e^{-i{k}'x}}{\sqrt{2\pi }} \: \widehat{a}^{\dagger }({k}')d{k}'\right \}|0\rangle dx$
$=\frac{A}{\sqrt{2\pi }} \int_{-\infty }^{\infty } \int_{-\infty }^{\infty }\exp \left [ -\frac{x^{2}}{2D^{2}}+i(k-{k}')x \right ]\widehat{a}^{\dagger }({k}')|0\rangle d{k}' dx$

ここで、

$-\frac{x^{2}}{2D^{2}}+i(k-{k}')x= -\frac{1}{2D^{2}}\left [ x^{2} -2iD^{2}(k-{k}')x\right ]$
$= -\frac{1}{2D^{2}}\left [ x^{2} -2iD^{2}(k-{k}')x+\left ( iD^{2}(k-{k}') \right )^{2}-\left ( iD^{2}(k-{k}') \right )^{2}\right ]$
$= -\frac{1}{2D^{2}}\left [ \left ( x- iD^{2}(k-{k}')\right )^{2}+ D^{4}(k-{k}')^{2} \right ]$
$= -\frac{1}{2D^{2}} \left ( x- iD^{2}(k-{k}')\right )^{2}-\frac{D^{2}}{2}(k-{k}')^{2}$

よって

$|\Psi \rangle=\frac{A}{\sqrt{2\pi }} \int_{-\infty }^{\infty } \exp \left [ -\frac{1}{2D^{2}} \left ( x- iD^{2}(k-{k}')\right )^{2} \right ] dx$
$\times \int_{-\infty }^{\infty }\exp \left [ -\frac{D^{2}}{2}(k-{k}')^{2} \right ]\widehat{a}^{\dagger }({k}')|0\rangle d{k}'$

さらに

$\int_{-\infty }^{\infty } \exp \left [ -\frac{1}{2D^{2}} \left ( x- iD^{2}(k-{k}')\right )^{2} \right ] dx$
$= \sqrt{2}D\int_{-\infty }^{\infty } \exp \left [ -\frac{1}{2D^{2}} \left ( x- iD^{2}(k-{k}')\right )^{2} \right ] d\left ( \frac{x}{\sqrt{2}D} \right )$
$= \sqrt{2}D\sqrt{\pi }= D\sqrt{2\pi }$

（ここで被積分関数が複素関数なのに、実数範囲で積分していることに疑問があるが、それには『「ガウス波束の前準備」の疑問はEMANさんの「趣味で量子力学」に書いてありました。』を参照のこと）

したがって、

$|\Psi \rangle= \frac{A}{\sqrt{2\pi }}D\sqrt{2\pi }\int_{-\infty }^{\infty }\exp \left [ -\frac{D^{2}}{2}(k-{k}')^{2} \right ]\widehat{a}^{\dagger }({k}')|0\rangle d{k}'$
$= AD\int_{-\infty }^{\infty }\exp \left [ -\frac{D^{2}}{2}(k-{k}')^{2} \right ]\widehat{a}^{\dagger }({k}')|0\rangle d{k}'$

となり、

$\phi ({k}')= AD\exp \left [ -\frac{D^{2}}{2}(k-{k}')^{2} \right ]$

という波数空間の波動関数となり、この空間でもガウス分布となることが分かる。

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