場の理論入門(31)

原点に集まった状態、つまり釣り鐘型の分布になる場合を考えます。

次のような状態を考える。

 

つまり、波動関数

 

で書き表わされる1粒子状態である。ここで、

 
  
  
  

つまり

 
  
  

から

 
  

なので、

 

とすれば、正規化されることになる。
さて、最初の式を波数空間で表わすことを考える。

 
    
  

ここで、

 
  
  
  

よって

 
  

さらに

 
  
  

(ここで被積分関数が複素関数なのに、実数範囲で積分していることに疑問があるが、それには『「ガウス波束の前準備」の疑問はEMANさんの「趣味で量子力学」に書いてありました。』を参照のこと)

したがって、

 
  

となり、

 

という波数空間の波動関数となり、この空間でもガウス分布となることが分かる。

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