「プリンシピア」再販をよせて_過去記事の再掲(4)

ホイヘンスの加速度公式」を再掲します。

質点が点 の位置を左回りに運動しているとします。(速度は で一定です。)
もし質点に力が働いてないとしたら、質点は等速直線運動して、時間 ののちには だけ離れた点Qの位置に到達するでしょう。しかし実際には中心に向かう引力が働いて点 の位置に「落下」します。
落下の距離 は、落下の法則により

  加速度       (1)

となります。
ここで、 にピタゴラスの定理を適用すると、

 
  

となりますが、展開すると

 

なので、 についてまとめと、

 

と2次方程式となります。
これを解くと、

 

となりますが、図を見てもお分かりのとおり、 なので、符号は (-) を選択することになります。
よって、

 

となりますが、右辺はもう少し変形できます。

 
  

したがって、

 

となります。ここで、  なので、 左辺  となります。
つまり、

 

となり、(1)=(2)から、最終的に

 加速度 

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