「プリンシピア」再販をよせて_過去記事の再掲(3)

[定理1]の一般的証明」を再掲します。

前回の記事『点Pが近日点にある場合の[定理1]の証明』を考えているとき、これをちょっと傾けて考えれば一般的証明ができることに気がつきました。
まず、図をご覧下さい。

楕円軌道_03.jpg

この場合、

 

 
 

よって、

 

ということが言えます。


したがって

 
  


これから を求めることになりますが、それには接線の傾き を求める必要があります。
まず点 の座標 を求めておきます。

 
 

となります。さて、

 

から、接線の傾き

 

なので、 を代入すると、

 
  

です。ここで、  なので、正接の角度の加法則を使うと、


 
  
  


となります。この結果から、

 

であり、 なので、

 
  

この分数の分子だけを先に計算すると

 
  
  
  
  
   

つまり、

 

となります。よって、(1)と(2)より、

 

となりますが、 ということは、 ということです。
つまり、(3)式は

 

ということになります。[証明終わり]


  

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