潮汐力とリーマンテンソル

潮汐力を測地線の方程式の観点からみることを考えます。
まず、「時空の力学」の記述を引用します。

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一方の質点の座標を 、他方のそれを として、それぞれに対して測地線の方程式を書いて辺々差し引き、それを と書いてまとめると、長い計算の後で、

 

となる。
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この「長い計算」というをやってみようと思います。
もうひとつの一般相対論入門」の「測地線偏差の方程式(p90~91)」を参考にします。
まず、 および での測地線の方程式を書きます。

 
 

ここで、
 
 

だから、

 
  

となり、上から2番目の式は

 
  

なので、ここから1番目の式を辺々引くと

 

ここで、絶対微分

 

を用いて上式を書き換えることを考えます。

 
  
  
  
  
  


ここで、測地線の方程式を再び顧慮して

 

なので、

 
  
  
  
  
   

  
  
  

つまり
   

なので、1番目の式と2番目の式の差は

 

となり、求めたい式が出てきました。
最後に「時空の力学」の引用の続きを示します。

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遅い粒子が弱い重力場中を運動する場合には、

  

となる。これは、リーマンテンソルが本質的に潮汐力を表すことを示している。
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