「弱い重力場」のおさらい

これについては以前にもやっていますが、ここのところやっているテーマに少し飽きてきたので、気晴らしに相対論の話題をおさらいします。あんまり読んでなかった平川浩正先生の「相対論」(何故か第一版)を参考にします。

「弱い重力場」は時空の曲がりが少ないのだから、ミンコフスキー時空とかなり近いと思われます。
として、計量は
 
 

また、「静的な場」つまり、 に無関係であるとすると、   

 

から、  として


 
  

から

 

 

 

さて、この時空内で動く遅い質点の運動方程式を想定します。測地線方程式は

 

で、τはパラメータですが、ここでは質点の固有時とします。そうすると「静的な場」という条件から、左辺第2項は

 
  
 
ここで、「遅い質点」という条件から、

 

で、  とネグレクトすると、左辺第2項は

 

であり、遅い質点なので固有時は近似的に座標時とできるため、測地線方程式は

 

となります。一方、ニュートン力学では、重力ポテンシャル として、質点の運動方程式は

 

です。よってこの測地線方程式とニュートン力学の運動方程式が近似的に等しいとするためには、辺々の差をとって
 

で、積分すれば左辺( )内が定数となる必要があります。つまり、

 

ですが、重力が無い → ということを考慮すると

 

が妥当ということになります。

ここで、一様な重力場では、重力加速度 高さ とし

 

であり、質量 の周りの球対称な重力場では中心からの距離 として、

 

となります。リンドラー計量とは少し違う?とか、シュバルツシルド計量の他の要素もこの考え方ででてくるのか?という疑問に対し、「これは悪までニュートン近似なので」、と言っておきましょう。。

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