Schwarzschild 時空のラグランジアン

もうちょっとオーソドックスなことを考えましょう。

Schwarzschild 計量は の自然単位を使うと、

 

ですが、前記事とは違って、 として とします(本質は前記事とは変わりません)。そうすると

 

となります。粒子の運動を記述する作用は

 

なので、

 

ただし。ドットは での微分を表します。
さて、ラグランジアン には が露わに含まないので、

 時間 の共役運動量=エネルギー
 方位角 の共役運動量=角運動量

つまり、

 
 

は保存するので、これらは定数として見て良いことになります。ここから

 

となります。ここで固有時を決める式

 

の右辺に適用すると

 
  

となるでしょう。
光の軌跡では のため、

 

となります。光の軌跡 は、

 

から、

 

となります。これを解くことになるんですが、普通 という変数変換をします。

 

なので、元の式は

 
  

となります。これでいいのか?

 
  

とすべきか?ちょっと分からなくなりました。。
 

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