特殊相対論のおさらい(2)_4次元ミンコフスキー空間

今回は時空の不変量について考えますが、これも良く知られているもので難しいものではありません。

今ある事象 があるとして、
慣性系 で時間座標 、空間座標
慣性系 で時間座標 、空間座標
とします。

 

さて、 系で次のような量を考えます。

 

同様に、 系でも

 

という量が考えられますが、この式の をローレンツ変換式で で書き換えたらどうなるか?ということを考えます。
ここで 方向のブーストだったら簡単なのですが、折角なので任意の方向のブーストを使ってみます。これは複雑なので、要素ごとに計算します。

 
 
  

これから

 

 
  
   
  
   

よって

 
   
  
   
  
    
  
  

ここで、

 

なので、これを代入すると、

 

となりました。そこで、

 
  
  

ということが証明できました。

今日はこの辺で。。

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