任意方向ブーストのローレンツ変換式(1)_2次元のガリレイ変換から

ちょっと話題に飽きてきたので、「ブースト方向を任意とした場合のローレンツ変換式」をもう少し丁寧に書き直してみたいと思います。

本当は3次元空間で説明しなければいけないのでしょうが、図で表わすことを考えると2次元平面で考えたいと思います(後で3次元に延長すれば良いでしょう)。
さらに、まずガリレイ変換で考えます。これも時間が遅れたりや空間が縮んだりするので、2つの慣性系を重ねて表現するのは、この問題を解くのには不便と思ったからです。時空図ではなくて、空間座標だけを表していることに留意願います。

まず、慣性系 座標で表現)に対しその 軸方向に速度 で動いている慣性系 座標で表現)を考えます。これを図にすると次のようになります。

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位置ベクトル から への変換は図から分かる通り、

 

です。これをローレンツ変換に変えると

 

となるでしょう。

このストーリーで、この相対速度が任意方向の場合を考えましょう。
まず、図を描いてみます。

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後々ローレンツ変換に変えることを考えると、速度ベクトル と同じ方向に座標を回転させたほうが良いでしょう。

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ガリレイ変換を考えると

 

となり、これもローレンツ変換に変えると

 

となるでしょう。したがって、 で表わすことが可能ならば、それを使って任意方向ブーストのローレンツ変換式が求められそうです。

今日はこの辺で。。

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