特殊相対論のおさらい(6)_テンソル

この段階でも、「計量テンソル ημν」 というのが出てきてますが、ここでやっと 「テンソル」そのものの定義に触れます。
実は、「反変ベクトル = (1,0) テンソル」、「共変ベクトル(1形式) = (0,1) テンソル」、「スカラー = (0,0) テンソル」 で、すべてテンソルの一種と考えることができます。

一般に テンソル は慣性系 成分

 

を持ち、ローレンツ変換 で別の慣性系 に移ったとき、その成分 が次のように変化する量として定義されます。

 

ここで、 (0,2) テンソル と二つのベクトル との積でスカラーができることを示します。

 
    

つまり でスカラーであることが分かります。もう少しいうと、

 「 (0,2) テンソル とは、2つのベクトルからスカラーをつくる線形作用」

と定義することもできます。つまり、
同様に

 「 (1,1) テンソル とは、ベクトルと1形式からスカラーをつくる線形作用」 

と考えられます。 (2,0) テンソル =2階反変テンソル、 (0,2) テンソル =2階共変テンソル、(1,1) テンソル =2階混合テンソル などといいます。

さて、任意の (0,2) テンソル を対称テンソル反対称テンソルとに分けることが出来ます。

 

ここで、特別なテンソルをあげておきます。

計量テンソル

  


ここまでの議論で、例えば

 

とすることで、一般相対論で同じ議論ができると思います。

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