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zoom RSS またまた「ベルの宇宙船パラドックス」を訳してみよう(2)

<<   作成日時 : 2019/01/07 00:01   >>

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wikipediaBell's spaceship paradoxの訳の続きを書いていきます。

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5.Relativistic solution of the problem:この問題に対する相対論的解

5.1 Rotating disc: 回転する円盤

ベルの宇宙船のパラドックスは、物体間の静止長を保つことではなく(ボルン剛性のように)、物体が動いている慣性系内の距離を保存することに関するもので、エーレンフェスト=パラドックスは一例である。
歴史的に、アルバート・アインシュタインは、回転円盤の円周が慣性系で測定されたものよりも回転系方が大きく測定されているということを、一般相対性理論の発展過程においてすでに認識していた。アインシュタインは1916年に説明した。

「円の円周と直径は、半径と比較して無限に小さい標準測定棒で測定され、我々は2つの結果の商を有すると仮定する。この実験をガリレイ系K 'に対して相対的に静止した測定棒実施した場合、商はπとなる。測定棒をKに対して相対的に静止させると、商はπよりも大きくなる。これは、"固定"系 K 'から測定する全プロセスを想定し、周辺に適用された測定棒がローレンツ収縮を受けることを考慮すると容易に理解されるが、半径に沿って適用されるものはそうではない。 したがってユークリッド幾何学はKには適用されない。」

1919年にアインシュタインによってより正確に指摘されているように、関係は与えられている。



は回転系の円周、 は実験室系の円周、 はローレンツ因子 である。 そのため、静止状態の円盤をボルン剛性の状態で回転させることは不可能である。代わりに、円盤が均一な回転状態になるまで、加速された回転の段階の間に応力が発生する。

5.2 Immediate acceleration: 即時的加速 

同様に、ベルの宇宙船パラドックスの場合、加速後の S '系における新しい静止長 L'と、船間の初期静止長 L(加速後の S系における移動長さと同じ)とすると

 

この長さの増加は、さまざまな方法で計算できる。 例えば、加速が終了すると、船舶は最終静止系 S 'の同じ位置に常に留まるので、S から S'に変換された 座標間の距離を計算すればよい。 が S 内の船の位置である場合、それらの新しい静止系 S ' 内の位置は次のとおりである。

 
 

他の方法は、同時性の相対性の重要性を実証したDewan(1963)によって示された。 加速が終了後、両方の宇宙船が休止する系 S 'での見方が紹介されている。 S 'では B は同時刻の相対性のために A の前の加速して停止しているという時間差があるが 、S では(微小時間の加速を仮定して) で同時に加速する。

 
  

宇宙船は加速前に S 'で同じ速度で動いているので、ローレンツ収縮のために S' の最初の静止長 になる。 この距離は、B が停止した後に増加し始める。なぜなら、A は自身が停止するまでの十分な時間 中に一定速度でに B から離れるからである。 Dewanはこの関係(別の記法で)にたどり着いた:

 
  

何人かによって指摘されているが、S の一定長と S ' の増加した長さはローレンツ収縮式  と一致する。これは、長さ が S 'で によって増加するためであり、これは S で同じ因子で縮小されているため、S では同じままである。

 

要約:船間の静止距離が S 'で まで増加する一方で、相対性理論の原則では、新しい静止系 S ' で(物理的構成が変更されていない)糸が静止長 を維持する。したがって、船間の距離が遠くなるために S 'で糸は切れる。 上述したように、糸の長さの収縮(またはその移動する分子場の収縮)を用いて開始慣性系 S を考慮することによっても同じことが得られるが、等加速度のために船間距離は同じである。

 [図]
画像


ミンコフスキー図:加速後の 内の船舶間の長さ は、 内の前の長さ よりも長く、 内の変更されていない長さ よりも長くなる。細い線は「同時時刻線」である。

5.3 Constant proper acceleration :一様加速 

瞬間的な変化の代わりに、特殊相対論はまた、一様加速、すなわち動く加速度計によって示される加速度のより現実的なシナリオを記述することを可能にする。これは双曲線運動となり、観察者は瞬間慣性座標系を連続的に変化させる。

 
 

ここで は外部慣性座標系における座標時間であり、 は瞬間慣性座標系における固有時間であり、瞬間速度は次式で与えられる。

 

このパラドックスの数学的な扱いは、ボルン剛体運動の扱いと似ている。しかし、ボルン剛体運動の問題は、慣性系内で同じ加速度を持つ宇宙船の分離について尋ねるのではなく、「彼らの固有系内で宇宙船間の距離が一定であるためには第2の宇宙船に対してどのような加速プロフィールが必要か?」ということである。当初慣性系内で静止している2つの宇宙船が一定の固有距離を維持するためには、先頭の宇宙船はより低い固有加速度を有しなければならない。

このボルン剛体は、Rindler座標(Kottler-Møller座標)を使って記述できる。


 
 

ボルン剛性の条件は、宇宙船の固有加速度が

 

だけ異なり、観測者の一人が Rindler 系(または瞬間慣性系)で測定した長さ が、

 

によって外部慣性系の に収縮することを必要とし、上記と同じ結果である。 その結果、ボルン剛性の場合、瞬間慣性系内の長さ 'の一定性は、外部慣性系内のLが絶えず減少し、糸が切れないことを意味する。しかし、ベルの宇宙船のパラドックスの場合、外枠の長さLの不変性が瞬間枠の が増加することを意味するので、ボルン剛性の条件は破られ(さらに距離の式は増加す) 同じ固有加速度を持つ2人の観察者の間の距離もまた瞬間系ではもっと複雑になる。

 [図]
画像

同じ大きさの同じ固有加速度で同じ方向に加速する2人の観測者AとBの世界線(紺色の曲線)(双曲線運動)。 A' および B' において、観察者は加速をやめる。

画像

同じ Rindler (事象の)地平線を持つ、ボルン剛体加速の2人の観測者。 彼らはそれらのうちの1つの固有時間をRindler系の座標時として選ぶことができる。

画像

2人の観測者が同じ固有加速度を持っている(Bellの宇宙船)。 それらは同じ Rindler 系の中で停止しているわけではないので、異なるRindlerの視野を持っている。

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一様加速関連の式の導出は次の記事が参考になるかと思います。

一様加速のおさらい(1)
一様加速のおさらい(2)
一様加速のおさらい(3)
一様加速のおさらい(4)
一様加速のおさらい(5)

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