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zoom RSS 「粒子の分布について_(1)」の再掲

<<   作成日時 : 2018/12/04 00:01   >>

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標題の記事を再掲します。

いままで、席の取り方の説明してきたのは、もちろんエネルギー準位を占有する粒子数を求めるためです。
長椅子のようなものと言っていたのは、一つのエネルギー準位を示していて、席は縮退を許す数になる訳です。
そしていままではハッキリは言っていませんが、「相互作用をしない同種の粒子を 個含み、全粒子のエネルギーが総和が である系」を考えています。
また、「粒子のとり得るエネルギー準位を  とし、それぞれ 重に縮退しており、そのうち 個の準位を占められている」ものとします。つまり、図に示すようになります。

画像


条件を式にすると、

 

 

です。この条件を満たす  の組み合わせは多数存在しますが、その中で の組み合わせの数(状態数)が最大になる最も確からしい状態があるはずです。

最も確からしい状態では、エントロピー( )が最大であるから、その微分はゼロになります。よって

 

です。ただし、 もゼロでなくてはなりません。つまり  

 

 

です。この式 が拘束条件になる訳ですね。

[古典的粒子の場合]-----------------------------------------------------------------

ここでは、「古典的粒子」について考えてみます。
(古典力学ではエネルギー準位が飛び飛びになる必然性がなく、この条件は変なことになりますが、そこは大目に見て下さい)
組み合わせは

 

なので、対数をとると

 

となります。ここでスターリングの公式 を使うと

 
  

ですが、上にあげた条件 を考慮すると、

 

となります。ここで は定数なので、微分を考えると、

 
  
  


よって、

 

となりますが、 なので、

 

となります。
つまり、条件 を解く問題になります。
こういうときはラグランジェの未定係数(乗数)法を使うことになり、

 

を作りますと、

 

となります。 の右辺はすべてゼロなので、上式の右辺がゼロになるのは分かると思います。
左辺をまとめて

 

ということになります。ところが、 は互いに独立ですから、( ) 内がゼロにならなければなりません。
つまり、

 

となり、粒子数

 

となります。

[ボーズ粒子の場合]-----------------------------------------------------------------

組み合わせは

 

なので、対数をとると、

 

ですが、 なので、

 

となり、ここでスターリングの公式を使うと

 
  

さらに、 が定数なので、微分を計算すると

 
  

となりますが、 なので、

  

となります。
つまり、条件 を解く問題になります。
こういうときはラグランジェの未定係数(乗数)法というのを使うことになり、

 

を作りますと、

 

となります。 の右辺はすべてゼロなので、上式の右辺がゼロになるのは分かると思います。
左辺をまとめて

 

となりますが、 は互いに独立ですから、{ }内がゼロにならなければなりません。
つまり、

 

から、粒子数

 

となります。

[フェルミ粒子の場合]-----------------------------------------------------------------

組み合わせは

 

なので、対数をとると、
ここで、スターリングの公式を使うと

 
  

となり、これを微分すると

 
  
  

で、 なのですから、

 

となります。
つまり、条件 を解く問題になります。
こういうときはラグランジェの未定係数(乗数)法を使い、

 

を作りますと、

 

となります。 の右辺はすべてゼロなので、上式の右辺がゼロになるのは分かると思います。
左辺をまとめて

 


となりますが、 は互いに独立ですから、{ }内がゼロにならなければなりません。
つまり、

 

となり、粒子数

 

となります。
-----------------------------------------------------------------------------

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