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zoom RSS パウリ行列でユニタリ行列を表現

<<   作成日時 : 2018/12/27 00:01   >>

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前記事で得た SU(2) の元である行列をパウリ行列で求めようと検討します。

前記事の最後で

 

ということでしたが、この複素数 を4つの実数 で表わすと 

 

となります(添え字の順番がちょっと変なのは後でパウリ行列の順を配慮しています)。よって

 

であり、

 
  
  

ここで、

 

とし、これをパウリ行列といいます。
少し表記は異なるのですが、この行列については

 パウリ行列の性質
 パウリ行列のおさらい(1)
 パウリ行列のおさらい(2)
 パウリ行列のおさらい(3)
 パウリ行列のおさらい(4)

などを参照願います。
最近使っている表記で便利なものを抜き書きすると

 

また、3次元ベクトル との積の和はベクトルの内積のように

 

と表わせます。
ここで、

 

という関係を確認しましょう。証明として

 
  
  
 
 
さて、交換関係は

   

なので、

 

とすると、

 

つまり

 

となりましたが、これは「指数関数の肩の行列のエルミート化(1)」で求めた

 

と同型です。 と  には関係がありそうです。

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