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zoom RSS 確率母関数と積率母関数(1)

<<   作成日時 : 2018/12/23 00:01   >>

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最終的に「中心極限定理」を上っ面だけでなく理解したいと思ってまして、そのために、良く分かってない標題の件の、簡単におさらいします。「理工系・例題解法9 統計―確率と確率分布― 」を参考にしました。


[理工系・例題解法9 統計―確率と確率分布―  P33〜34]-------------------------

  を実関数として、 の期待値は、とくに が整数値確率変数のとき、重要な働きをする。 
 この期待値は確率母関数(以後 p.g.f と略す)とよばれ、 であらわす。
 整数値確率変数 の場合に、 のいくつかの成立を列挙すると







を展開すると、 の係数が となっていることに注意。

---------------------------------------------------------------------

1 は定義式。
2 は 1 式において とおくと
 
3 の前半は 1 式を で微分しただけ。この式で とおくと
 
4 については
 
  
  
  
  
  
つまり、
  
から、 4 式が成立します。
 

[理工系・例題解法9 統計―確率と確率分布―  P34]-------------------------

 もう一つの重要な期待値は、積率母関数(以後 m.g.f と略す)とよばれるもので、 で定義される。 ここで はダミー変数 という p.d.f をもった連続確率変数のときには
 
となる。
 ゆえに、 が与えられているとき、 を求めるには、それが存在することを仮定すれば、 を展開して係数から求めることもできるし、 次導関数を で評価することによっても求まる。

---------------------------------------------------------------------

 
  
  
ここで、

 

なので、

 
 
[理工系・例題解法9 統計―確率と確率分布―  P34]-------------------------

 確率母関数で積率母関数は必ずしも存在するとはかぎらないが、特殊関数 は必ず存在し、その性質も容易に調べることができる。
 上に述べた三つの母関数の非常に重要な性質は、与えられた母関数に対して、必ず一つの分泌関数(もしくは確率密度関数)が対応しているということである。
 それゆえ、多くの問題では、確率分布を導出することと、これら三つの期待値のどれかを計算することとは同一視される。

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