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zoom RSS 格子原子の熱振動(2)

<<   作成日時 : 2018/11/08 00:01   >>

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いままで、1次元振動を扱っていましたが、これを3次元まで広げることにします。

それには

 

というように波動方程式を拡張します。
状況として、一辺の長さが の立方体の各面が固定されている場合、立方体中の定常波は

 

がなります。ここから

 

なので、波動方程式は

 

となり、 と 振動数には次の関係があります。

 

3次元直交座標で、 の正の整数値をプロットすると、
画像

というように空間の1/8の正の領域に点が集まります(当然と言えば当然)。
画像
 
() という点の原点からの距離 :  

これを半径とする球面上の点はすべて同一の振動数を与えます。

さて、 の間に入る点の数()は、半径 の間の球殻の体積の 1/8 に等しいので

 

となりました。
実際には縦波(longitudinal wave)が1つと、横波(transverse wave)が2つ(互いが垂直)が存在するので、縦波の速さを 、横波の速さを とすると、

 

となるようです。

2.結晶の格子振動

 前節までは、固体を連続媒質として考えてきました。つまり、前提である「格子原子の平衡位置からの変位」というモデルを度外視しても成り立つ考えです。
後記事で本来のモデルからの考察をしてみたいと思います。

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