T_NAKAの阿房ブログ

アクセスカウンタ

zoom RSS 格子原子の熱振動(1)

<<   作成日時 : 2018/11/01 00:01   >>

ブログ気持玉 0 / トラックバック 0 / コメント 0

結晶を構成している多数の原子は互いに力をおよぼし合ってその平衡点に位置していると考えられます。これが温度 T°Kになると、電子はほぼ kT の熱エネルギーを持つことになり、平衡位置を中心として振動するようになるでしょう。この状態を様相を勉強します。

§1.固体中の弾性波

 固体中を伝わる音波 → 縦波と横波がある

1.1 固体中の縦波

 1次元弾性体を伝播する縦波になる後列部分の変位
画像
一様な断面積 を持った棒を横から見た図です。
縦波がやってきたとして、 点が だけ変位して の位置にうつり、 の点が だけ変位して、 の位置に移ったとします。
そうすると、考えている固体部分の実際の伸びは となります。
 座標 の断面に作用して、 の負の方向を向く力を とします。そして、 の面に作用し、 の方向を向く力は、 です。したがって、この微小部分に働く力は、 の正方向に となります。
力が分かると から、 の質量と加速度が分かれば方程式をたてることができます。
質量密度を とすると、断面積 なので、 での質量は であり加速度は なので、

 

ここでヤング率

  = 単位面積当たりの力÷伸びの割合

で定義されますが、

 単位面積当たりの力 =   伸びの割合 =

なので、

 

つまり、

 

となるので、最初の方程式は

 

つまり、

 

であり、これは

 

という波動方程式です(ただし、 は位相速度)。


1.2 一次元固体中の縦波

 

とすると、波動方程式になるので、解は

 

で、反対方向に進む波をあり

 

もあります(ここで、)。よって一般解は

 

です。
ここで、棒が有限の長さ をもっている場合を考えます。
棒の両端は固定 → そこでは変位 がゼロとすると、境界条件は
 
となります。ここから

 

となり

 
 
 

つまり、虚部を採用して とおいて

 

となりました。これは定常波です。
周期 から、

 

さらに振動数 、波長

 
 
とトビトビの値になります。これは棒の両端が固定されているからですね。
もし棒が十分に長く、 の値の変化に対し、 の変化が小さく、 が連続的に変わると考えられる場合には、 の間に存在する波の数は、上式から

 

となります。

テーマ

注目テーマ 一覧


月別リンク

ブログ気持玉

クリックして気持ちを伝えよう!
ログインしてクリックすれば、自分のブログへのリンクが付きます。
→ログインへ

トラックバック(0件)

タイトル (本文) ブログ名/日時

トラックバック用URL help


自分のブログにトラックバック記事作成(会員用) help

タイトル
本 文

コメント(0件)

内 容 ニックネーム/日時

コメントする help

ニックネーム
本 文
格子原子の熱振動(1) T_NAKAの阿房ブログ/BIGLOBEウェブリブログ
文字サイズ:       閉じる