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zoom RSS もう一度「行列と変換群」を読んでみようか(7)_直交行列と直交群

<<   作成日時 : 2018/10/03 00:01   >>

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今回から群との関係を少し考えます。

まず、直交行列をおさらいすると

 

なので

 

例:

 

[直交行列の性質]--------------------------------------
(1) 行列式の値は ±1 である。
(2) 直交行列の積は直交行列である。
-------------------------------------------------------
 
(1) に関しては、「もう一度「行列と変換群」を読んでみようか(1)」参照。
(2) に関しては  : 直交行列 とすると、

 


 : 行列式が +1 の n×n 直交行列の集合
とし、 と書くと、
性質(2)から、例えば となり、
 
から、 の行列式は +1 に等しいことが分かります。

[1] 結合則

 

[2] 単位元の存在

 

[3] 逆元の存在

 

なので集合 は群になっていることが分かります。

これを 特殊 n 次直交群 とよび、 と書きます。
  : 行列式が+1という意味で special の頭文字
  : 直交性の意味で orthogonal の頭文字
  : n 次元

はしばしば n次元回転群 とも呼ばれます。
 実際に

 

 は直交行列で 2次元回転群の要素 になっています。

(参考:「群の名前の付け方」を再掲

一般の n×n 直交行列の行列式は ±1 → G に行列式の -1の直交行列を加えるとより大きな群になる → n 次直交群 と書きます。
 
 

の例

 

のため、 をどのような値に選んでも を表すことはできません。

 

つまり、
 
画像



座標系の第1軸の向きを変えるのあって、原点の周りの回転ではけして実現されないことが分かります。

今日はこの辺で。。

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