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zoom RSS 「行列の指数関数(4)」を再掲

<<   作成日時 : 2018/10/29 00:01   >>

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行列の指数関数(4)」を再掲します。

行列の指数関数は指数関数の性質 exp(A+B)=exp(A)exp(B) が成り立つのでしょうか?これを調べるために、例題を考えてみます。

[問3]----------------------------------
 として、 が成り立つか調べよ。
--------------------------------------
[解]
「行列の指数関数(1)と(2)」を再掲 の 例 b)から であり、 から同様に

  

なので、

 

であり、

 

で、「行列の指数関数(3)」を再掲 の 問1 の結果から

  

つまり、  となります。[終] 

この例から分かるように、行列の指数関数の積については、一般に  のような簡単な関係は無いようです。
もし、 が成り立つならば、 なので、 となってしまいます。
行列の積が一般に非可換ですから、 は当然なのでしょう。


そこで、 に留意して考えると、左辺は、

 
  

となります。一方、右辺は、

 
  
  

となります。したがって、 であるかぎり、展開の について2次以上の項は一致しないことになります。


逆に、 であると、両者は一致しますから、通常の指数関数と同じことになります。つまり、

 

であることが分かります。
特別な例として、 として  なので、 となり、 の逆行列は で与えられることが分かります。 

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