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zoom RSS 「行列もベクトルになる」と「行列の内積」を再掲

<<   作成日時 : 2018/10/11 00:01   >>

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ベクトル空間と変換群_行列もベクトルになる」と「ベクトル空間と変換群_行列の内積」を再掲します。

・行列もベクトルになる

実ベクトルの成分を「複素数」にしてベクトルの次元を上げる以外に、ベクトルの次元を上げるもうひとつ別な方法があります。

例として、複素数成分の2×2の行列を考えます。

 

とすると、行列の和は

 

定数倍は

 

となります。
ベクトルの代わりに行列を使っても複素ベクトル空間をつくっていることが分かります。


・行列の内積

ここでは 2×2 行列の全体がつくる 4(=22) 次複素ベクトル空間に内積を定義します。
2×2 行列 について内積を を定義します。
ノルムは で定義します。

ここで、 ですから、

 

となりますが、行列 の積 成分は  なので、 となります。


確かめてみると、

 

なので、トレースは 

 

となっていますね。

正規基底行列はどうなっているのでしょうか?

 

と考えて、

 

と定義すると、 になります。
成分を考えると、

 

なので、 の内積は

 
   

となりますので、

  のとき   それ以外は 

が証明され、 は確かに正規直交基底になっていることが分かります。

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