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zoom RSS 2次方程式の解

<<   作成日時 : 2018/10/01 00:01   >>

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解の公式は良く知られているので、いちいち言及しませんが、一応方程式は

 

としておきましょう。
解が分からないとして区別するために、2つの解を をします。 そうすると

 

となり、

 

この連立方程式を解けば良いことになりますね。ここで

 

とかすると、元へ戻ってしまいます。。
ところで、対称式です。
つまり、 という解の交換で変わらないということです。
実際、重根でなければ は異なり、 ですね。
ここで証明はしませんが、「対称式同士の加減乗除も対称式」なので、係数 をいくら加減乗除しても という2つの解は出てこないでしょう。
ここで解の交換で符号が変わる交代式 を考えましょう。

 

となって、

 (対称式±交代式)/2

で個別の解が求まりそうです。ちょっと工夫すると

 

であり、仮に とすると、

 
 

よって解の公式は

 

なります。

さて、少し視点を変えて、解の置換ということを考えます。
係数の加減乗除だけの体では、解の置換では変わらない対称式でしかありませんが、見方を変えると置換群は次のような位数2の群となります。

画像


この置換群の元の置換を行っても何も変わらないということです。
ここで、係数の体に冪根である√を添加すると(実はこの言い方は正確ではないのですが)上の群の部分群である e のみの置換群に縮小することになります。

画像


つまり、ざっくり考えると、係数の体に冪根のようなものを添加していくにつれ、解の置換群が縮小していき、具体的な解が求まるという筋道がガロア理論の大筋でしょう。

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