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zoom RSS Dirac「一般相対性理論」の「7.クリストッフェル記号」のおさらい(3)

<<   作成日時 : 2018/07/30 00:01   >>

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もう少し続けます。

さて、平行移動しても「任意のベクトルの長さが不変」ということから、平行移動しても「スカラー量 が不変」ということが言えます。
これには、まず というベクトルをつくります。( :実数)
次に、この新しいベクトルの長さを考えてみます。

 
  

つまり、

 ( の長さの2乗) = (の長さの2乗) + ( の内積)+ ( の長さの2乗)

ですね。ここで、 が変わらなければ、 も変わりません。よって上式から、「 の内積」も変わらないことになります。

さて、 の第一添え字上げて

 

としておくと便利です。これを「第2種のクリストッフェル記号」と呼びます。
これを使うと、(7)式は

 

と表せます。


次に、反変成分の平行移動について考えます。
これには、「スカラー量 が不変」を使います。
つまり、

  

から

 

で、これに式(11) を代入すると

 

となりますが、これがどんな に対しても成立すべきですから、

 

となります。
これが、反変成分で平行移動を言うときの公式となります。

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