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zoom RSS Dirac「一般相対性理論」の「7.クリストッフェル記号」のおさらい(2)

<<   作成日時 : 2018/07/27 00:01   >>

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Dirac「一般相対性理論」を読む_(10)」からのシリーズの書き換えの後半を実施します。

前記事の結果を再掲しましょう。

 

画像
 

この図は「時空の力学」から転載しています。ここにあるように平行移動したベクトルの長さが上の式から一定と言えるかどうか?を検討したいと思います。

ベクトルの長さは ですので、この微分を考えてみます。

 
  
  
  

ここに、式(7)を適用すると、

 
  

となり、さらに式(6)を使うと、

 

となりました。第1項と第2項では 以外は、添え字の上下が対称的に逆さまです。これを揃える工夫を考えてみましょう。

微分の公式から、

 

です。ところで クロネッカーのδは0または1の値しかとりません。これの微分ですからゼロになります。つまり上式は、

 

であり、

 

ですが、両辺に  をかけて、

 

となるため、

 

です。これを(8)式に代入すると、

 
  

つまり「ベクトルの長さの微分がゼロ」=「ベクトルの長さは不変」ということになります。

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