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zoom RSS Dirac「一般相対性理論」の「7.クリストッフェル記号」のおさらい(1)

<<   作成日時 : 2018/07/26 00:01   >>

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Dirac「一般相対性理論」を読む_(10)」からのシリーズの書き換えをしたいと思います。

「7.クリストッフェル記号」の節です。
ここでの目的は、前節の結論 において、平らなN次元空間の残滓を取り除くことです。この式で というところに、N次元空間の座標が残ってます。これを曲面のパラメータに置き換える方法を考えるということです。

 

から、

 

工夫すれば曲面のパラメータ(具体的には計量 )を使って表すことが出来そうですね。


さて、本論に入ります。
ここでディラック先生は微分記号の表現に新しい規則を設けます。2階の偏微分を次のように表すことにしました。

 

つまり2回目の[,]を省略するのです。この記法を踏まえて、計量テンソルを微分してみます。

 

ここから、右辺の だけを計量テンソルで表わすことを考えます。
これには添え字をサイクリックに替えてみます。
まず (1) において、μとσを交換、

 

次に (1) において、νとσを交換、

 

となり、微分の順序を変えても結果は同じなので、それを踏まえて並べてみましょう。

 
 
 

これを眺めると

 

とすると、目的とする が右辺に現れています。残りの2項は添え字の上下を別にすれば と同じものです。そこで(2)式を添え字を変えて表わすと

 
  

なので、

 

となります。つまり

 

この左辺を

 

とおいて、「第1種のクリストッフェル記号」と呼びます。
式(5)を眺めると、うしろの2つの添え字νσを交換しても、値は変わりません。これを添え字νとσについて「対称」といいます。

さらに、添え字μνを交換したら、どうなるでしょうか?

 

と式(5)より、

 

となります。
さて、これで初めに書いたこの節の目的が達成されことが分かります。前記事の結論は、(4)と(5)から、

 

と書けます。
式(5)から、クリストッフェル記号は物理空間の計量テンソル のみに関わるので、N次元空間をひきあいに出す必要が全く無くなりました。 
 

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