量子力学のおさらい_不確定性原理 (1)

不確定性原理をフーリエ変換の観点から考えます。
簡単のため、1次元に絞ります。

 

ですが、変数を から に変えることを考えます。

 

なので、

 

となりますが、

 

とすると、

 

また

 

から

 

となります。まとめると変換・逆変換は

 
 

です。

  : 粒子の位置を の間に見出す確率
  : 粒子の運動量を の間に見出す確率

で表します。各々の分布の標準偏差を とすると、

 

ここで、

 

という量を考えると、どんな に対しても が成立します。これを計算すると

 
  
  


ですが、

 
  

なので

 

となります。また

 

から、

 
  

となります。これを の2次方程式と見做すと、これは重根か解が無いので、判別式はゼロ以下にならないといけないでしょう。つまり

 

から、

 

となります。ここで、

  

としても、どんな に対しても が成立します。

 
  
  
  

 
  
  

 
  
  
  
  

 
  
  
  
  
  
  
  
  


 
  
  


 
  
  
    
  
  
   
  
  
  

つまり、

 
  

先の議論と同じく、判別式を計算して条件を与えると

 

なので、最終的には

 

となります。

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この記事へのコメント

バク
2020年03月21日 00:35
お世話になります。

さて、本文ではI’(λ)の定義式

{…+λ(ℏ∂ψ^*/∂t+iψ^*)}{…+λ(ℏ∂ψ/∂t-iψ}

から、次の行の式で

ℏ∂ψ^*/∂t=ipψ^*

となっていますが、

-iℏ∂ψ/∂t=pψ → iℏ∂ψ^*/∂t=pψ^*

だと思いますので、

ℏ∂ψ^*/∂t=-ipψ^*

と負符号が付くのではないでしょうか?




バク
2020年03月21日 01:19
すみません

書き込んでから気づいたのですが

-iℏ∂ψ/∂t=pψ → iℏ∂ψ^*/∂t=-pψ^*

ですね。pは演算子ですね

申し訳ありませんでした

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