ちょっとした「つり鐘型曲線」と正規分布の関係

前記事ちょっとした「つり鐘型曲線」を描いてみるで bell-shaped curve の一例を提示しました。
この曲線と正規分布の関係を考えてみたいと思います。

0 ~ 1 の範囲で一様分布する3つの確率変数 X1 , X2 , X3 の組を考えると、一つのデータは座標 で表わされ、一辺が "1" の立方体の空間の中にプロットされるでしょう。   
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一様分布なので、データをたくさん集めたら、一辺が "1" の立方体の空間の中にそれこそ一様にプロットされるでしょう。

さて、次図のように3つの平面を立方体内に描きます。
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Plate(0.5) : この平面にある点は立方体内で という条件を満たすデータ
Plate(1)  : この平面にある点は立方体内で   という条件を満たすデータ
Plate(1.5) : この平面にある点は立方体内で という条件を満たすデータ

これらの平面は大きさが限定されているので、面積を計算することができます。
例えば Plate(0.5) の面積は という条件を満たすデータの発生する頻度に比例することになるでしょう。

ちょっとした「つり鐘型曲線」を描いてみるでは、 と Plate(x) の面積 の関係を計算してグラフ化したものです。

ここで 中心極限定理 を思い出すと(この定理にはいろいろな表現がありますが)、 は正規分布に近づくというものでした。

ここでは、0 ~ 1 の範囲の一様分布の3つの和なので(たった3つですが)、この「中心極限定理」が示すように「つり鐘型曲線」になっているわけです。
話としては「サイコロの数を少し増やしていく」と同じ内容になりましたね。

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