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## 相対論的量子力学のお勉強（６-４）_角運動量の固有状態

<<   作成日時 ： 2016/10/10 00:01   >>

 もう少し続きをやります。 まず前記事とは別の関係式を導出してみます。 　$(\boldsymbol{L}\cdot \boldsymbol{\sigma })(\boldsymbol{q}\cdot \boldsymbol{\sigma })= (L_{1}\sigma _{1}+L_{2}\sigma _{2}+L_{3}\sigma _{3})(q_{1}\sigma _{1}+q_{2}\sigma _{2}+q_{3}\sigma _{3})$ 　　$=\sigma _{1}^{2}L_{1}q_{1}+\sigma _{1}\sigma _{2}L_{1}q _{2}+\sigma _{1}\sigma _{3}L_{1}q _{3}+\sigma _{2}\sigma _{1}L_{2}q _{1}+\sigma _{2}^{2}L_{2}q_{2}+\sigma _{2}\sigma _{3}L_{2}q _{3}$ 　　$+\sigma _{3}\sigma _{1}L_{3}q _{1}+\sigma _{3}\sigma _{2}L_{3}q _{2}+\sigma _{3}^{2}L_{3}q_{3}$ 　　$=L_{1}q_{1}+i\sigma _{3}L_{1}q _{2}-i\sigma _{2}L_{1}q _{3}-i\sigma _{3}L_{2}q _{1}+L_{2}q_{2}+i\sigma _{1}L_{2}q _{3}$ 　　$+i\sigma _{2}L_{3}q _{1}-i\sigma _{1}L_{3}q _{2}+L_{3}q_{3}$ 　　$=L_{1}q_{1}+L_{2}q_{2}+L_{3}q_{3}+i\sigma _{1}(L_{2}q _{3}-L_{3}q _{2})+i\sigma _{2}(L_{3}q _{1}-L_{1}q _{3})+i\sigma _{3}(L_{1}q _{2}-L_{2}q _{1})$ 　　$=\boldsymbol{q}\cdot \boldsymbol{L}+i\sigma _{1}(L_{2}q _{3}-L_{3}q _{2})+i\sigma _{2}(L_{3}q _{1}-L_{1}q _{3})+i\sigma _{3}(L_{1}q _{2}-L_{2}q _{1})$ 　$(\boldsymbol{q}\cdot \boldsymbol{\sigma })(\boldsymbol{L}\cdot \boldsymbol{\sigma })=(q_{1}\sigma _{1}+q_{2}\sigma _{2}+q_{3}\sigma _{3}) (L_{1}\sigma _{1}+L_{2}\sigma _{2}+L_{3}\sigma _{3})$ 　　$=\sigma _{1}^{2}q_{1}L_{1}+\sigma _{1}\sigma _{2}q_{1}L _{2}+\sigma _{1}\sigma _{3}q_{1}L _{3}+\sigma _{2}\sigma _{1}q_{2}L _{1}+\sigma _{2}^{2}q_{2}L_{2}+\sigma _{2}\sigma _{3}q_{2}L _{3}$ 　　$+\sigma _{3}\sigma _{1}q_{3}L _{1}+\sigma _{3}\sigma _{2}q_{3}L _{2}+\sigma _{3}^{2}q_{3}Lq_{3}$ 　　$=\boldsymbol{q}\cdot \boldsymbol{L}+i\sigma _{1}(q_{2}L _{3}-q_{3}L _{2})+i\sigma _{2}(q_{3}L _{1}-q_{1}L _{3})+i\sigma _{3}(q_{1}L _{2}-q_{2}L _{1})$ よって 　$(\boldsymbol{L}\cdot \boldsymbol{\sigma })(\boldsymbol{q}\cdot \boldsymbol{\sigma })+(\boldsymbol{q}\cdot \boldsymbol{\sigma })(\boldsymbol{L}\cdot \boldsymbol{\sigma })= 2\boldsymbol{q}\cdot \boldsymbol{L} +i\sigma _{1}([L_{2},q _{3}]-[L_{3},q _{2}])$ 　　$+i\sigma _{2}([L_{3},q _{1}]-[L_{1},q _{3}])+i\sigma _{3}([L_{1},q _{2}]-[L_{2},q _{1}])$ となりますが、 　$\boldsymbol{q}\cdot \boldsymbol{L}= q_{1}(q_{2}p_{3}-q_{3}p_{2})+ q_{2}(q_{3}p_{1}-q_{1}p_{3})+ q_{3}(q_{1}p_{2}-q_{2}p_{1})$ 　　$=q_{1}q_{2}p_{3}-q_{3}q_{1}p_{2}+ q_{2}q_{3}p_{1}-q_{1q_{2}}p_{3}+ q_{3}q_{1}p_{2}-q_{2} q_{3}p_{1}= 0$ 　$[L_{2},q_{3}]= [q_{3}p_{1}-q_{1}p_{3},q_{3}]= [q_{3}p_{1},q_{3}]-[q_{1}p_{3},q_{3}]= -q_{1}[p_{3},q_{3}]= i\hbar q_{1}$　 　$[L_{3},q_{2}]= -i\hbar q_{1}\; ,\; [L_{3},q_{1}]= i\hbar q_{2}\; ,\; [L_{1},q_{3}]= -i\hbar q_{2}\; ,\;$ 　$[L_{1},q_{2}]=i\hbar q_{3}\; ,\; [L_{2},q_{1}]= -i\hbar q_{3}$ から、 　$(\boldsymbol{L}\cdot \boldsymbol{\sigma })(\boldsymbol{q}\cdot \boldsymbol{\sigma })+(\boldsymbol{q}\cdot \boldsymbol{\sigma })(\boldsymbol{L}\cdot \boldsymbol{\sigma })=-2\hbar\sigma _{1}q_{1}-2\hbar\sigma _{2}q_{2}-2\hbar\sigma _{3}q_{3}= -2\hbar(\boldsymbol{q}\cdot \boldsymbol{\sigma })$ です。これから 　$\left ( \frac{2}{\hbar}\boldsymbol{L}\cdot \boldsymbol{S}\right )\left ( \frac{2}{\hbar}\boldsymbol{q}\cdot \boldsymbol{L } \right )+\left ( \frac{2}{\hbar}\boldsymbol{q}\cdot \boldsymbol{L } \right )\left ( \frac{2}{\hbar}\boldsymbol{L}\cdot \boldsymbol{S}\right )= -2\hbar \left ( \frac{2}{\hbar}\boldsymbol{q}\cdot \boldsymbol{L } \right )$ であり、 　$( \boldsymbol{L}\cdot \boldsymbol{S} ) (\boldsymbol{q}\cdot \boldsymbol{L } )+ ( \boldsymbol{q}\cdot \boldsymbol{L } ) ( \boldsymbol{L}\cdot \boldsymbol{S} )= -\hbar^{2}(\boldsymbol{q}\cdot \boldsymbol{L } )$ 　$( \boldsymbol{L}\cdot \boldsymbol{S} ) (\boldsymbol{q}\cdot \boldsymbol{L } )+\hbar^{2}(\boldsymbol{q}\cdot \boldsymbol{L } ) + ( \boldsymbol{q}\cdot \boldsymbol{L } ) ( \boldsymbol{L}\cdot \boldsymbol{S} )= 0$ 　$\left ( \boldsymbol{L}\cdot \boldsymbol{S}+\frac{\hbar^{2}}{2} \right ) (\boldsymbol{q}\cdot \boldsymbol{L } ) + ( \boldsymbol{q}\cdot \boldsymbol{L } )\left ( \boldsymbol{L}\cdot \boldsymbol{S}+\frac{\hbar^{2}}{2} \right ) = 0$ これから 　$( 2 \boldsymbol{L}\cdot \boldsymbol{S}+\hbar^{2} ) (\boldsymbol{q}\cdot \boldsymbol{L } ) + ( \boldsymbol{q}\cdot \boldsymbol{L } ) ( 2 \boldsymbol{L}\cdot \boldsymbol{S}+\hbar^{2} ) = 0$ となります。 ここまで考えてきたのですが、最後の「水素原子の準位の微細構造」の章の内容の計算が合いません。 よって、一応このシリーズ（相対論的量子力学のお勉強）はここでいったん終わりにさせていただきます。 計算の辻褄が合うようでしたら再開しますの。。

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