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zoom RSS ベイズの定理のおさらい(5)

<<   作成日時 : 2016/01/06 00:01   >>

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もう少し、難しい壺の問題を考えましょう。「ベイズ更新」の話題です。


[問題]-----------------------------------------------------------
\(A社\)で作る本物の壺 \(水晶玉 : ガラス玉 = 4 : 1\)
\(B社\)で作る偽物の壺 \(水晶玉 : ガラス玉 = 2 : 3\)
の割合で入っている。外観は区別のつかない。
画像

この図はあくまでイメージであって、壺にはたくさんの玉が入っている状態。

いま\(A社\)か\(B社\)か分からない壺があって、続けて3回玉を取り出したら
 \(1回目:水晶玉\)、\(2回目:水晶玉\)、\(3回目:ガラス玉\)
だった。
この壺が\(A社製\)である確率を求めよ。
-----------------------------------------------------------------

まず、記号を定義します。

 \(H_{A} : A社の壺から玉を取り出す\)
 \(H_{B} : B社の壺から玉を取り出す\)
 \(S : 取り出した玉が水晶玉(Sは水晶の頭文字)である\)
 \(G : 取り出した玉がガラス玉(Gはガラスの頭文字)である\)

玉がたくさん入っているので、1〜3個取り出しても確率は大きく変化せず、

 
 

となります。
ここで、続けて3回玉を取り出したら

 

という結果になりました。ここからどういう推論をするか?ということですが、ベイズの定理から

 
 
 
 

となります。


@1回目の玉の取り出し

 まず理由不十分の原則から \(P(H_{A})=P(H_{B})=0.5\) なので、
 
 
となり、どうもA社製の確率の方が大きいようです。


A2回目の玉の取り出し

 当初は理由不十分の原則から \(P(H_{A})=P(H_{B})=0.5\) としていましたが、どうも@の結果からA社製の確率の方が大きいようなので、素直に@の結果を \(P(H_{A}),P(H_{B})\) にしてしまおうということです。具体的には
 
とします。これをベイズ更新と呼ぶようです。
 
 
となりました。


B3回目の玉の取り出し

 今度は \(G\) で、 \(P(H_{A}),P(H_{B})\) をベイズ更新して、 \(P(H_{A}|G),P(H_{B}|G)\) を求めることになります。具体的には
 
とします。 
 
 

確率は次のように変化していきます。

画像


今日はこの辺で。。

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