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zoom RSS ベイズの定理のおさらい(6)

<<   作成日時 : 2016/01/11 00:01   >>

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健康診断での「検査」を例に考えてみます。


[問題]-----------------------------------------------------------
ある病気を発見する \(検査T\) に関して、次のことが知られている。

 ・病気にかかっている人に \(検査T\) を適用すると、\(98\%\) の確率で病気であると正しく診断される。
 ・病気にかかっていない人に \(検査T\) を適用すると、\(5\%\) の確率で誤って病気であると診断される。
 ・人全体では、病気にかかっている人と病気にかかっていない人の割合はそれぞれ \(3\%\) 、\(97\%\) である。

母集団より無作為に抽出された1人に、 \(検査T\) を適用して病気にかかっている(すなわち陽性)と診断されたとき、この人が本当に病気にかかっている確率を求めよ。
-----------------------------------------------------------------

健康診断での「検査」で「陽性」となって、再検査で「陰性」ということは良くあるんで、そういう確率を求めようということですね。

まず、記号を定義して整理していきたいと思います。

 \(H_{1}:「この病気に本当にかかっている」(略して「病人」)\)
 \(H_{2}:「この病気に本当にかかっていない」(略して「健康」)\)
 \(D:「検査でこの病気にかかっていると診断される」(略して「陽性」)\)

求めるものは「 \(検査T\) を適用して病気にかかっている(すなわち陽性)と診断されたとき、この人が本当に病気にかかっている確率」なので、\(P(H_{1}|D)\) ということで、ベイズの定理から
 
と計算されるでしょう。ここで、問題文から
 
となるため、
 
となります。
つまり、「 \(検査T\) で病気」と診断されても、実際に病気である確率は約 \(38\%\) ということになりました。

単純に考えて、検出率が\(98\%\) ということだと、もっとこの確率が高いような気がしますね。事前確率 \(P(H_{1}),P(H_{2})\) がここに加味されるとこういう結果になるのですが、感覚的には抵抗があります。

今日はこの辺で。。

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