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zoom RSS ベータ分布

<<   作成日時 : 2015/12/29 00:01   >>

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ベイズ統計の関連でよく使われる分布のようで、ちょっと勉強です。
参考書は涌井良幸/涌井貞美「Excel でスッキリわかるベイズ統計入門」です。


参考書の定義によると、
======================================================
確率密度関数 \(f(x)\) が次のように与えられる分布をベータ分布という。
            
(\(k\) は定数、\(0\lt x \lt 1,\;0\lt p,\;0\lt q\))
======================================================
ということなんですが、定数 \(k\) というのは何か変ですね。
これについては、「関数 \(f(x)\) の定数 \(k\) は確率の総和 \(1\) になる条件から決められます」という(注)が付いてました。
確かに \(p,q\) が特定の自然数なら、 \(f(x)\) は比較的簡単に積分できて定数 \(k\) を求めることは出来るでしょうが、条件では正の実数なので、一般的にはちょっと難しいでしょう。

wikipedia ベータ分布
を見ると、正しくは
   
で、分母はベータ関数
   
を示しているようです。確かに、こうすると
 
なので、確率の総和が \(1\) になることが確認できました。

まず、ベータ関数の漸化式
 
から、

  

また、

 
   
   
   
   


最後にモード(最頻値)を求めましょう。これは \(f(x)\) を微分して 0 と置いて、そのときの \(x\) の値から求めれば良いので

  
   
つまり、
 
よって、モード(最頻値)\(M\) は
 
となります。

もう一度まとめると

 


[オマケ:ベータ関数の漸化式の証明らしきもの]===================================
 
   
   
つまり、
 
最終的に
 
となります。
===========================================================================

今日はこの辺で。。

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