カシミール効果とゼータ関数(5)

このシリーズの最後です。一応最終的なカシミール力が出てきますが、ここにも疑問が残ってしまいました。。

[引用⑭]--------------------
 さらにリーマンゼータ ζ(s) の積分表示

    、Re(s) > 1

を利用し、ガンマ関数の倍数公式を用いると、カシミールエネルギーは結局



となる。
 以上ではあらかじめ、プラナの和公式を用い Ecasimir(a) の値を取り出したが、その際に行った無限大の繰り込みは ζ(-d) の値を s ←→ 1-s の関数等式を用いて ζ(d+1) から求めるのに相当する。
----------------------------

まず、前記事で求めた



の右辺の積分をリーマンゼータ ζ(s) の積分表示の積分部分に合わせることを考えます。



から、





となります。したがって、




です。さらに、「ガンマ関数の倍数公式」とは "Gamma Function" の(50)式



を使うと、





なので、



となりますが、[引用⑭]の式とは微妙に異なります。以前から言っているように、私の計算では数セミの表現の半分になるので、この点を配慮すると、





と同じになります。ということで、メデタシ・メデタシということになるんですが。。


[引用⑮]--------------------
 上の表示から、単位面積当りのカシミールエネルギー がわかる。
 たとえば3次元(d = 3)の場合には、ζ(4) = π4/90 だから



である。
 したがって、単位面積当りのカシミール力 を求めるには を微分すればよい。
 よって



が計算できた。
----------------------------




となるので、d = 3 を代入すると




で、[引用⑮]の内容と合致するのですが、これは、「Casimir効果の計算_(2)」をもう少しくだいて再掲 とか、「場の量子論におけるカシミール効果」 で示した結果



とは丁度半分です。私の計算では半分だと言っていましたが、それは辻褄が合っているので、その所為ではないでしょう。
多分、「カシミール効果とゼータ関数(1)」「カシミール効果とゼータ関数(2)」の内容に物理的な見落としがあるのではないか?と考えています。今は良く解らないですけどね。。



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