カシミール効果とゼータ関数(4)

ここから本題の繰り込み手法ということになるのでしょう。
あまりやったことがないので計算が合致するかどうか?(前回の記事でも違いが出てきてしまったので。。)

[引用⑪]--------------------
 ここではプラナの和公式を用いる。
 この和公式は本質的にはポアソン和公式と同等なものであり、しかも今の設定では先で考えるリーマン面の場合のセルバーグ跡公式と見かけ上、比較しやすい:f(x) を性質の良い関数とするとき次のプラナの和公式が成立する:


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Abel-Plana Formula によると、



なのですが、左辺は、



と分解できるので、



となり、[引用⑪]の式は正しいことになりますね。そこまで信用しないんかい!とツッコミが在りそうですが、どうも引っかかってしまうのです。


[引用⑫]--------------------
 さて、ガンマ関数の性質から





となることに注意する。
----------------------------

一行目の式はガンマ関数の性質ではなく、複素数を意識すると得られるようですね。
一応、数セミの記事に書いてある F(x) の式を採用して話を進めます(私が計算すると半分になるのですが、、)。





と変形できます。{ }の中を変形していくと、



なので、



が成立します。ここで、オイラーの相半公式 を使って、懸案の Γ(-d/2) を消去することを考えます。



から、



となりました。

[引用⑬]--------------------
 そこで、 に代入すると、 なので


----------------------------


この部分も分かり難いところでした。ここは素直に代入して



となりますが、



から、



です。変数 y を x に代えても値は変わらないので、





となります。これを 「カシミール効果とゼータ関数(2)」 に代入すると、





となり、[引用⑬]の式のようになります。
ただし、私が前記事で指摘したように、本当はこれの半分のような気がします。


今日はこの辺で。


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