カシミール効果とゼータ関数（３）
「カシミール効果とゼータ関数」を続けますが、どうも私の計算と微妙に異なるのはどうしてでしょう。
[引用⑨]--------------------
F(x) の右辺の積分は言うまでもなく発散している。
そこで意味をつけるためにベータ関数の積分表示を思い出し、丁寧に計算すると、
= -\frac{x^{d}}{2\pi ^{1/2}}\Gamma \left ( \frac{d-1}{2} \right )\Gamma \left ( -\frac{d}{2} \right ) "F\left ( x \right )= -\frac{x^{d}}{2\pi ^{1/2}}\Gamma \left ( \frac{d-1}{2} \right )\Gamma \left ( -\frac{d}{2} \right )")
となる。
----------------------------
ということなんですが、私が計算すると、この半分にしかならないのはどうしてでしょう。
計算を示します。
= \int_{0}^{\infty }k^{d-2}\left ( x^{2}+k^{2} \right)^{\frac{1}{2}}dk = x\int_{0}^{\infty }k^{d-2}\left \{ 1+\left ( \frac{k}{x} \right )^{2} \right \}^{\frac{1}{2}}dk "F\left ( x \right )= \int_{0}^{\infty }k^{d-2}\left ( x^{2}+k^{2} \right)^{\frac{1}{2}}dk = x\int_{0}^{\infty }k^{d-2}\left \{ 1+\left ( \frac{k}{x} \right )^{2} \right \}^{\frac{1}{2}}dk")
なので、t を次のように定義して
^{2}\: \rightarrow \: k= xt^{\frac{1}{2}}\: \rightarrow \: dk= \frac{x}{2} t^{-\frac{1}{2}}dt "t\equiv \left ( \frac{k}{x} \right )^{2}\: \rightarrow \: k= xt^{\frac{1}{2}}\: \rightarrow \: dk= \frac{x}{2} t^{-\frac{1}{2}}dt")
から、
= x\int_{0}^{\infty }\left ( xt^{\frac{1}{2}} \right )^{d-2}\left ( 1+t \right )^{\frac{1}{2}}\frac{x}{2} t^{-\frac{1}{2}}dt= \frac{x^{d}}{2}\int_{0}^{\infty }t^{\frac{d-1}{2}-1}\left ( 1+t \right )^{\frac{1}{2}}dt "F\left ( x \right )= x\int_{0}^{\infty }\left ( xt^{\frac{1}{2}} \right )^{d-2}\left ( 1+t \right )^{\frac{1}{2}}\frac{x}{2} t^{-\frac{1}{2}}dt= \frac{x^{d}}{2}\int_{0}^{\infty }t^{\frac{d-1}{2}-1}\left ( 1+t \right )^{\frac{1}{2}}dt")
^{-\frac{1}{2}}}\: dt = \frac{x^{d}}{2}\int_{0}^{\infty }\frac{t^{\frac{d-1}{2}-1}}{\left ( 1+t \right )^{\frac{d-1}{2}-\frac{d}{2}}}\: dt "= \frac{x^{d}}{2}\int_{0}^{\infty }\frac{t^{\frac{d-1}{2}-1}}{\left ( 1+t \right )^{-\frac{1}{2}}}\: dt = \frac{x^{d}}{2}\int_{0}^{\infty }\frac{t^{\frac{d-1}{2}-1}}{\left ( 1+t \right )^{\frac{d-1}{2}-\frac{d}{2}}}\: dt")
と形式的には変形できます。
ここで、ベータ関数の中の「積分表示」を見ると、
= \int_{0}^{\infty }\frac{t^{\frac{d-1}{2}-1}}{\left ( 1+t \right )^{\frac{d-1}{2}-\frac{d}{2}}}\: dt "B\left ( \frac{d-1}{2},-\frac{d}{2} \right )= \int_{0}^{\infty }\frac{t^{\frac{d-1}{2}-1}}{\left ( 1+t \right )^{\frac{d-1}{2}-\frac{d}{2}}}\: dt")
と表されることになります。
ちょっと躊躇するのは、この公式の成立条件として、Re((d-1)/2)＞0 , Re(-d/2)＞0 があることで、２番目の条件は明らかに合致しません。詳しいことは省きますが、ここは解析接続ということで大目に見て下さい。
また、「ガンマ関数との関係」から、
=\frac{x^{d}}{2}B\left ( \frac{d-1}{2},-\frac{d}{2} \right )=\frac{x^{d}}{2}\cdot \frac{\Gamma \left ( \frac{d-1}{2} \right )\Gamma \left ( -\frac{d}{2} \right )}{\Gamma \left ( -\frac{1}{2} \right )} "F\left ( x \right )=\frac{x^{d}}{2}B\left ( \frac{d-1}{2},-\frac{d}{2} \right )=\frac{x^{d}}{2}\cdot \frac{\Gamma \left ( \frac{d-1}{2} \right )\Gamma \left ( -\frac{d}{2} \right )}{\Gamma \left ( -\frac{1}{2} \right )}")
ということになりますね。
ガンマ関数を見ると、当初の定義からは変数の実部は正ということになり、Γ(-d/2) や Γ(-1/2) は不適切なことになってしまいますが、右上のグラフには実部が負の領域まで伸ばしても良いように思えます。これも解析接続ということでしょうかね。
ここで、Γ(1/2)=π1/2 と Γ(z)=(z-1)Γ(z-1) という関係から、
= \left ( 1-\frac{1}{2} \right )\Gamma \left ( 1-\frac{1}{2} \right )= -\frac{1}{2}\Gamma \left ( -\frac{1}{2} \right )= \pi ^{1/2} "\Gamma \left ( \frac{1}{2} \right )= \left ( 1-\frac{1}{2} \right )\Gamma \left ( 1-\frac{1}{2} \right )= -\frac{1}{2}\Gamma \left ( -\frac{1}{2} \right )= \pi ^{1/2}")
なので、
= -2\pi ^{1/2}\approx -3.5449 "\Gamma \left ( -\frac{1}{2} \right )= -2\pi ^{1/2}\approx -3.5449")
です。これは、Gamma Functionのグラフから読み取った値と同じでしょう。よって、
=-\frac{x^{d}}{4\pi ^{1/2}}\Gamma \left ( \frac{d-1}{2} \right )\Gamma \left ( -\frac{d}{2} \right ) "F\left ( x \right )=-\frac{x^{d}}{4\pi ^{1/2}}\Gamma \left ( \frac{d-1}{2} \right )\Gamma \left ( -\frac{d}{2} \right )")
となります。これは[引用⑨]に示された式の丁度半分なんですが、何か計算間違いがあるんでしょうか？
[引用⑩]--------------------
次元を表す d が偶数だと Γ(-d/2) は都合が悪いが、しばらく d は一般の複素数だと思っておおらかになろう。
[物理では次元による正規化とよばれる手法である。ゼータの正規化積を思い浮かべる読者のセンスは悪くない。]
これを使って Ecasimir(a) の真の値（無限大の繰り込みによって得られる意味のある有限の値）を取り出すための処方を施すことにする。
----------------------------
Gamma Functionのグラフを見ればお分かりの通り、ガンマ関数では「負の整数＝特異点」になります。なので、 d が偶数だと Γ(-d/2) は都合が悪いということですね。
具体的な処方については次の記事とします。
今日はこの辺で。。
[引用⑨]--------------------
F(x) の右辺の積分は言うまでもなく発散している。
そこで意味をつけるためにベータ関数の積分表示を思い出し、丁寧に計算すると、
となる。
----------------------------
ということなんですが、私が計算すると、この半分にしかならないのはどうしてでしょう。
計算を示します。
なので、t を次のように定義して
から、
と形式的には変形できます。
ここで、ベータ関数の中の「積分表示」を見ると、
と表されることになります。
ちょっと躊躇するのは、この公式の成立条件として、Re((d-1)/2)＞0 , Re(-d/2)＞0 があることで、２番目の条件は明らかに合致しません。詳しいことは省きますが、ここは解析接続ということで大目に見て下さい。
また、「ガンマ関数との関係」から、
ということになりますね。
ガンマ関数を見ると、当初の定義からは変数の実部は正ということになり、Γ(-d/2) や Γ(-1/2) は不適切なことになってしまいますが、右上のグラフには実部が負の領域まで伸ばしても良いように思えます。これも解析接続ということでしょうかね。
ここで、Γ(1/2)=π1/2 と Γ(z)=(z-1)Γ(z-1) という関係から、
なので、
です。これは、Gamma Functionのグラフから読み取った値と同じでしょう。よって、
となります。これは[引用⑨]に示された式の丁度半分なんですが、何か計算間違いがあるんでしょうか？
[引用⑩]--------------------
次元を表す d が偶数だと Γ(-d/2) は都合が悪いが、しばらく d は一般の複素数だと思っておおらかになろう。
[物理では次元による正規化とよばれる手法である。ゼータの正規化積を思い浮かべる読者のセンスは悪くない。]
これを使って Ecasimir(a) の真の値（無限大の繰り込みによって得られる意味のある有限の値）を取り出すための処方を施すことにする。
----------------------------
Gamma Functionのグラフを見ればお分かりの通り、ガンマ関数では「負の整数＝特異点」になります。なので、 d が偶数だと Γ(-d/2) は都合が悪いということですね。
具体的な処方については次の記事とします。
今日はこの辺で。。
この記事へのコメント