「基底状態が必ず存在する」という確認_備忘録

益川本「対称性と有限自由度系の基底状態(2)」という記事を書いているのですが、この中の主要な部分を Tex で書き直しておくことにします。 備忘録なので、反論のコメントをいただいても対応できませんので、あしからず。。

まず、元の記事は

益川本「対称性と有限自由度系の基底状態(2)」 http://teenaka.at.webry.info/200912/article_11.html

です。

前提:系のハミルトニアン とし、ポテンシャルを とすると、



( という自然単位を使っていることに注意)


固有値がすべて離散的であり系には、その固有関数を とし、
固有エネルギーを (n<m のとき ) とすると、すべての関数 は、この を使って展開できます。

 
つまり、



ということになります。

ここから、











であり、まとめると、 によるエネルギーの期待値は



と書けるので、基底状態のエネルギー より常に大きいことになります。
だから任意の試験関数 を使ってエネルギー期待値を計算してある値が得られたら、系の基底エネルギーは常にそれより小さいといえることになります。


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