対称性の自発的破れとヒッグス(Higgs)機構（５-２）: T

2012年03月22日

対称性の自発的破れとヒッグス(Higgs)機構（５-２）

対称性の自発的破れとゲージ相互作用の共存はさらに多大な効果をもたらすとのことで、それについて検討します。

前記事の内容をまとめておくと、

$\phi \left ( x \right ) \mapsto \frac{1}{\sqrt{2}}\: \exp \left [ -ie\frac{\xi \left ( x \right )}{v} \right ]\left ( v+\sigma \left ( x \right ) \right )$

$A_{\mu } \left ( x \right ) \mapsto A_{\mu } \left ( x \right ) +\frac{1}{v}\partial _{\mu }\xi \left ( x \right )$

とゲージ固定すると、ゴールドストーン場が取り除かれたことになります。

ユニタリーゲージを採ったあとでは、

$\left ( D_{\mu } \phi \right ) ^{*}\left ( x\right ) \left ( D^{\mu } \phi \right )\left ( x \right )$

$= \frac{1}{2}\left \{ \partial _{\mu }\sigma \left ( x \right ) -ie\left ( v+\sigma \left ( x \right ) \right )A_{\mu }\left ( x\right )\right \}\left \{ \partial^{\mu }\sigma \left ( x \right ) +ie\left ( v+\sigma \left ( x \right ) \right )A^{\mu }\left ( x\right )\right \}$

$= \frac{1}{2}\left \{ \partial _{\mu }\sigma \left ( x \right )\partial^{\mu }\sigma \left ( x \right ) +e^{2}\left ( v+\sigma \left ( x \right ) \right )^{2}A_{\mu }\left ( x\right )A^{\mu }\left ( x\right )\right \}$

$= \frac{1}{2} \partial _{\mu }\sigma \left ( x \right )\partial^{\mu }\sigma \left ( x \right ) +\frac{e^{2}}{2}\left ( v+\sigma \left ( x \right ) \right )^{2}A_{\mu }\left ( x\right )A^{\mu }\left ( x\right )$

$= \frac{1}{2} \partial _{\mu }\sigma \left ( x \right )\partial^{\mu }\sigma \left ( x \right ) +\frac{e^{2}v^{2}}{2}A_{\mu }\left ( x\right )A^{\mu }\left ( x\right ) + e^{2} v\sigma \left ( x \right ) A_{\mu }\left ( x\right )A^{\mu }\left ( x\right )+ \frac{1}{2}\sigma^{2} \left ( x \right )A_{\mu }\left ( x\right )A^{\mu }\left ( x\right )$

となり、第３項と第４項は「相互作用」項です。
スカラーポテンシャルは「対称性の自発的破れとヒッグス(Higgs)機構（１-３）」から、

$V\left ( \phi ^{*} \phi \right ) \mapsto \left ( 2\lambda v^{2} \right )\frac{\sigma ^{2}\left ( x \right )}{2}$

なので、「相互作用」項を (interactions)　と表現して

$\mathcal{L}= \frac{1}{2} \partial _{\mu }\sigma \left ( x \right )\partial^{\mu }\sigma \left ( x \right ) -\left ( 2\lambda v^{2} \right )\frac{\sigma ^{2}\left ( x \right )}{2}-\frac{1}{4}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }$

$+\frac{e^{2}v^{2}}{2}A_{\mu }\left ( x\right )A^{\mu }\left ( x\right )-\left ( \mathrm{interactions} \right )$

となります。

[引用]---------------------
大事なことは、ゲージ場の質量項

$\frac{e^{2}v^{2}}{2}A_{\mu }\left ( x\right )A^{\mu }\left ( x\right )\rightarrow \frac{m_{g}^{2}}{2}A_{\mu }\left ( x\right )A^{\mu }\left ( x\right )\; ,\; \; m_{g}\equiv ev= \frac{e\mu }{\sqrt{\lambda }}$

が生じたことである。自然界では、質量のない粒子はそれほど多くない。質量のない、ゴールドストーン粒子とゲージ粒子の両方がなくなる ― 片方はゲージ変換で吸収されて、もう片方は質量を獲得する ― このような、すばらしい機構をヒッグス(Higgs)機構と呼び、質量 $\sqrt{2\lambda }\, v$ であるスカラー粒子 $\sigma$ をヒッグス粒子という。
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