対称性の自発的破れとヒッグス(Higgs)機構(2)

[例題2]に行きますが、これは N 成分の実スカラー場の話で、[例題1]の N = 2 の場合の延長となります。

[例題2]================================
より一般化した対称性の自発的破れを議論する。N 成分の実スカラー場



を考える。(例題1は N = 2 の場合であった。)その Lagrangian の場合同様、



であり、当然 対称性、 を持っている。
したがって真空期待値 を持つポテンシャルの底は 対称である。
このとき、系は へと自発的に破れることを示せ。
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[例題1]と同様に真空期待値 v から場の量を測り直すことを考えます。O(N) の対称性のため Φ1,…,ΦN どの成分もこの値を持つことができますが、前問と同様に、それを第1成分にして、



と書くことにします。 なので




ですが、 [例題1]とほぼ同様な計算で、





となります。

Lagrangian



不変です。 の質量は は質量のない(N-1 個の)南部-ゴールドストーン粒子です。

こうして、 対称 Lagrangian は自発的に 対称 Lagrangian に壊れました。

ここで、群 の次元はその生成子の数、すなわち



です。(群 が N 次元空間の回転を表す群なので、異なる回転の種類は、N 個の軸から2個の軸を選ぶ場合の数ということです。)
同様に群 の次元は



です。これら2つの群の次元の差は、



であり、ちょうど南部-ゴールドストーン粒子の数に等しくなりますが、これが偶然でないことは次の例題で確認することになります。


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