対称性の自発的破れとヒッグス(Higgs)機構（２）
[例題２]に行きますが、これは N 成分の実スカラー場の話で、[例題１]の N = 2 の場合の延長となります。
[例題２]================================
より一般化した対称性の自発的破れを議論する。N 成分の実スカラー場
\equiv \begin{pmatrix} \Phi _{1}\left ( x \right )\\ \Phi _{2}\left ( x \right )\\ \vdots \\ \Phi _{N}\left ( x \right ) \end{pmatrix} "\boldsymbol{\Phi }\left ( x \right )\equiv \begin{pmatrix} \Phi _{1}\left ( x \right )\\ \Phi _{2}\left ( x \right )\\ \vdots \\ \Phi _{N}\left ( x \right ) \end{pmatrix}")
を考える。（例題１は N = 2 の場合であった。）その Lagrangian は "O\left ( 2 \right )")
の場合同様、
 \cdot \partial^{\mu }\boldsymbol{\Phi }\left ( x \right )+\frac{\mu ^{2}}{2}\boldsymbol{\Phi }^{T}\left ( x \right ) \cdot \boldsymbol{\Phi }\left ( x \right )-\frac{\lambda }{4}\left ( \boldsymbol{\Phi }^{T}\left ( x \right ) \cdot \boldsymbol{\Phi }\left ( x \right ) \right )^{2} "\mathcal{L}= \frac{1}{2}\: \partial_{\mu }\boldsymbol{\Phi }^{T}\left ( x \right ) \cdot \partial^{\mu }\boldsymbol{\Phi }\left ( x \right )+\frac{\mu ^{2}}{2}\boldsymbol{\Phi }^{T}\left ( x \right ) \cdot \boldsymbol{\Phi }\left ( x \right )-\frac{\lambda }{4}\left ( \boldsymbol{\Phi }^{T}\left ( x \right ) \cdot \boldsymbol{\Phi }\left ( x \right ) \right )^{2}")
であり、当然 "O\left ( N \right )")
対称性、 \mapsto \boldsymbol{O}\boldsymbol{\Phi }\left ( x \right )\; ,\; \boldsymbol{O}^{T} \boldsymbol{O}= \boldsymbol{I}\; ,\; \boldsymbol{O}\in O\left ( N \right ) \; , "\boldsymbol{\Phi }\left ( x \right ) \mapsto \boldsymbol{O}\boldsymbol{\Phi }\left ( x \right )\; ,\; \boldsymbol{O}^{T} \boldsymbol{O}= \boldsymbol{I}\; ,\; \boldsymbol{O}\in O\left ( N \right ) \; ,")
を持っている。
したがって真空期待値
を持つポテンシャルの底は 対称である。
このとき、系は "O\left ( N -1\right )")
へと自発的に破れることを示せ。
========================================
[例題１]と同様に真空期待値 v から場の量を測り直すことを考えます。O(N) の対称性のため Φ1,…,ΦN どの成分もこの値を持つことができますが、前問と同様に、それを第１成分にして、
= \begin{pmatrix} v+\sigma\left ( x \right ) \\ \boldsymbol{\xi }\left ( x\right ) \end{pmatrix} \; \; ,\; \; \boldsymbol{\xi }\left ( x\right )\equiv \begin{pmatrix} \xi _{1}\left ( x \right )\\ \xi _{2}\left ( x \right )\\ \vdots \\ \xi _{N-1}\left ( x \right ) \end{pmatrix} "\boldsymbol{\Phi }\left ( x \right )= \begin{pmatrix} v+\sigma\left ( x \right ) \\ \boldsymbol{\xi }\left ( x\right ) \end{pmatrix} \; \; ,\; \; \boldsymbol{\xi }\left ( x\right )\equiv \begin{pmatrix} \xi _{1}\left ( x \right )\\ \xi _{2}\left ( x \right )\\ \vdots \\ \xi _{N-1}\left ( x \right ) \end{pmatrix}")
と書くことにします。
なので
 = -\frac{\mu^{2} }{2}\left ( \sigma ^{2}+2v\sigma +v ^{2}+\boldsymbol{\xi } ^{T}\cdot \boldsymbol{\xi } \right )+\frac{\lambda }{4}\left ( \sigma ^{2}+2v\sigma +v ^{2}+\boldsymbol{\xi } ^{T}\cdot \boldsymbol{\xi } \right )^{2} "V\left ( \boldsymbol{\Phi } ^{T}\cdot \boldsymbol{\Phi } \right ) = -\frac{\mu^{2} }{2}\left ( \sigma ^{2}+2v\sigma +v ^{2}+\boldsymbol{\xi } ^{T}\cdot \boldsymbol{\xi } \right )+\frac{\lambda }{4}\left ( \sigma ^{2}+2v\sigma +v ^{2}+\boldsymbol{\xi } ^{T}\cdot \boldsymbol{\xi } \right )^{2}")
ですが、 [例題１]とほぼ同様な計算で、
 = \left ( 2\lambda v^{2} \right )\frac{\sigma ^{2}}{2}+\lambda v\sigma ^{3}+\frac{\lambda }{4}\sigma ^{4}+\frac{\lambda }{2}\sigma ^{2}\boldsymbol{\xi }^{T}\cdot \boldsymbol{\xi } "V\left ( \boldsymbol{\Phi } ^{T}\cdot \boldsymbol{\Phi } \right ) = \left ( 2\lambda v^{2} \right )\frac{\sigma ^{2}}{2}+\lambda v\sigma ^{3}+\frac{\lambda }{4}\sigma ^{4}+\frac{\lambda }{2}\sigma ^{2}\boldsymbol{\xi }^{T}\cdot \boldsymbol{\xi }")
^{2}-\lambda \frac{v^{4}}{4}\equiv V\left ( \sigma , \boldsymbol{\xi }^{T}\cdot \boldsymbol{\xi } \right ) "+\lambda v\sigma \boldsymbol{\xi }^{T}\cdot \boldsymbol{\xi } +\frac{\lambda }{4}\left ( \boldsymbol{\xi }^{T}\cdot \boldsymbol{\xi } \right )^{2}-\lambda \frac{v^{4}}{4}\equiv V\left ( \sigma , \boldsymbol{\xi }^{T}\cdot \boldsymbol{\xi } \right )")
となります。
Lagrangian
 "\mathcal{L}= \frac{1}{2}\partial_{\mu } \sigma \partial^{\mu }\sigma +\frac{1}{2}\partial_{\mu } \boldsymbol{\xi }^{T}\cdot \partial^{\mu }\boldsymbol{\xi } -V\left ( \sigma , \boldsymbol{\xi }^{T}\cdot \boldsymbol{\xi } \right )")
は "\boldsymbol{\xi } \mapsto {\boldsymbol{O}}'\boldsymbol{\xi } \; \; ,\; \; {\boldsymbol{O}}'\in O\left ( N-1 \right )")
不変です。 
の質量は 
で 
は質量のない（N-1 個の）南部-ゴールドストーン粒子です。
こうして、 対称 Lagrangian は自発的に 対称 Lagrangian に壊れました。
ここで、群 の次元はその生成子の数、すなわち
}{2} "{}_{N}\, \!C_2= \frac{N\left ( N-1 \right )}{2}")
です。（群 が N 次元空間の回転を表す群なので、異なる回転の種類は、N 個の軸から２個の軸を選ぶ場合の数ということです。）
同様に群 の次元は
\left ( N-2\right )}{2} "{}_{N-1}\, \!C_2= \frac{\left ( N-1 \right )\left ( N-2\right )}{2}")
です。これら２つの群の次元の差は、
}{2} - \frac{\left ( N-1 \right )\left ( N-2\right )}{2}= \left ( N-1 \right )\frac{N-\left ( N-2 \right )}{2}= N-1 "\frac{N\left ( N-1\right )}{2} - \frac{\left ( N-1 \right )\left ( N-2\right )}{2}= \left ( N-1 \right )\frac{N-\left ( N-2 \right )}{2}= N-1")
であり、ちょうど南部-ゴールドストーン粒子の数に等しくなりますが、これが偶然でないことは次の例題で確認することになります。
[例題２]================================
より一般化した対称性の自発的破れを議論する。N 成分の実スカラー場
を考える。（例題１は N = 2 の場合であった。）その Lagrangian は
であり、当然
したがって真空期待値
このとき、系は
========================================
[例題１]と同様に真空期待値 v から場の量を測り直すことを考えます。O(N) の対称性のため Φ1,…,ΦN どの成分もこの値を持つことができますが、前問と同様に、それを第１成分にして、
と書くことにします。
ですが、 [例題１]とほぼ同様な計算で、
となります。
Lagrangian
は
こうして、
ここで、群
です。（群
同様に群
です。これら２つの群の次元の差は、
であり、ちょうど南部-ゴールドストーン粒子の数に等しくなりますが、これが偶然でないことは次の例題で確認することになります。
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