ゲージ場の量子化（６-１）
次の例題に行きます。ヤン-ミルズ場を扱います。
[例題]==============================
ヤン-ミルズ場の共変ゲージ固定での経路積分表示が
 \right |\exp \left [ i\int d^{4}x\mathrm{Tr}\left ( -\frac{1}{2}\boldsymbol{F}^{\mu \nu }\boldsymbol{F}_{\mu \nu }-\frac{1}{\xi }\left (\partial _{\mu }^{\mu } \boldsymbol{A} \right )^{2} \right ) \right ] "Z_{L}= \int \mathcal{D}\boldsymbol{A}_{\mu }\left | \mathrm{Det}\left ( -\partial _{\mu } \boldsymbol{D}^{\mu }\right ) \right |\exp \left [ i\int d^{4}x\mathrm{Tr}\left ( -\frac{1}{2}\boldsymbol{F}^{\mu \nu }\boldsymbol{F}_{\mu \nu }-\frac{1}{\xi }\left (\partial _{\mu }^{\mu } \boldsymbol{A} \right )^{2} \right ) \right ]")
で与えられることを示せ。
====================================
「ゲージ原理とゲージ場（４-３）」http://teenaka.at.webry.info/201112/article_17.html にあるように無限小非可換を考えます。
このとき、恒等式
}{\delta \Lambda } \right )\right |\int \mathcal{D}A\delta \left [ F\left ( A^{\Lambda } \right ) \right ] "1= \left | \mathrm{Det} \left ( \frac{\delta F\left ( A^{\Lambda } \right )}{\delta \Lambda } \right )\right |\int \mathcal{D}A\delta \left [ F\left ( A^{\Lambda } \right ) \right ]")
に相当するのは、
を任意関数として = \boldsymbol{f} "\boldsymbol{F}\left ( \boldsymbol{A}^{\theta } \right )= \boldsymbol{f}")
の 
に関する解が 
であるとして
}{\delta \boldsymbol{\theta }} \right ) \right |\int \mathcal{D}\boldsymbol{\theta }\exp \left [ -\int d^{4}x\frac{\boldsymbol{\theta }^{2}}{2\epsilon } \right ]\delta \left [ \boldsymbol{F}\left ( \boldsymbol{A}^{\theta } \right )-\boldsymbol{f} \right ] "1= \exp \left [ \int d^{4}x\frac{\boldsymbol{\theta }_{0}^{2}}{2\epsilon } \right ]\left | \mathrm{Det}\left ( \frac{\delta \boldsymbol{F}\left ( \boldsymbol{A}^{\theta } \right )}{\delta \boldsymbol{\theta }} \right ) \right |\int \mathcal{D}\boldsymbol{\theta }\exp \left [ -\int d^{4}x\frac{\boldsymbol{\theta }^{2}}{2\epsilon } \right ]\delta \left [ \boldsymbol{F}\left ( \boldsymbol{A}^{\theta } \right )-\boldsymbol{f} \right ]")
というとのことです。
注）θ(x) が無限小であることを保証するために、無限小のεで特徴づけられるガウス型関数を挿入してある。
ヤン-ミルズ場の FP 行列式の表式（「ゲージ場の量子化（２-２）」http://teenaka.at.webry.info/201201/article_35.html 参照）
 \right )}{\delta \Lambda \left ( y \right )} = \frac{\delta F\left ( A_{\mu }\left ( x \right ) \right )}{\delta A_{\mu }\left ( z \right )} \,\partial _{\mu }^{z} \delta ^{4}\left ( z-y \right ) "\frac{\delta F\left ( A_{\mu }^{\Lambda }\left ( x \right ) \right )}{\delta \Lambda \left ( y \right )} = \frac{\delta F\left ( A_{\mu }\left ( x \right ) \right )}{\delta A_{\mu }\left ( z \right )} \,\partial _{\mu }^{z} \delta ^{4}\left ( z-y \right )")
は、無限小ゲージ変換
より、
 \right )}{\delta \boldsymbol{\theta}^{b} \left ( y \right )} = \frac{\delta \boldsymbol{F}\left ( \boldsymbol{A}\left ( x \right ) \right )}{\delta A_{\mu }\left ( z \right )} \,\boldsymbol{D}_{\mu }^{z} \delta ^{4}\left ( z-y \right ) "\frac{\delta \boldsymbol{F}\left ( A^{\theta }\left ( x \right ) \right )}{\delta \boldsymbol{\theta}^{b} \left ( y \right )} = \frac{\delta \boldsymbol{F}\left ( \boldsymbol{A}\left ( x \right ) \right )}{\delta A_{\mu }\left ( z \right )} \,\boldsymbol{D}_{\mu }^{z} \delta ^{4}\left ( z-y \right )")
であり、後で練習問題で扱いますが、共変微分が部分積分を満たすことを考慮すると、
 \right )}{\delta \boldsymbol{\theta}^{b} \left ( y \right )} = \frac{\delta \boldsymbol{F}\left ( \boldsymbol{A}\left ( x \right ) \right )}{\delta A_{\mu }\left ( z \right )} \,\boldsymbol{D}_{\mu }^{z} \delta ^{4}\left ( z-y \right )= -\boldsymbol{D}_{\mu }^{y} \frac{\delta \boldsymbol{F}\left ( \boldsymbol{A}\left ( x \right ) \right )}{\delta A_{\mu }\left ( y \right )} "\frac{\delta \boldsymbol{F}\left ( A^{\theta }\left ( x \right ) \right )}{\delta \boldsymbol{\theta}^{b} \left ( y \right )} = \frac{\delta \boldsymbol{F}\left ( \boldsymbol{A}\left ( x \right ) \right )}{\delta A_{\mu }\left ( z \right )} \,\boldsymbol{D}_{\mu }^{z} \delta ^{4}\left ( z-y \right )= -\boldsymbol{D}_{\mu }^{y} \frac{\delta \boldsymbol{F}\left ( \boldsymbol{A}\left ( x \right ) \right )}{\delta A_{\mu }\left ( y \right )}")
となります。
そうすると、
}{\delta \boldsymbol{A}_{\mu }^{\theta }} \right ) \right |\int \mathcal{D}\boldsymbol{\theta }\exp \left [ -\int d^{4}x\frac{\boldsymbol{\theta }^{2}}{2\epsilon } \right ]\delta \left [ \boldsymbol{F}\left ( \boldsymbol{A}^{\theta } \right )-\boldsymbol{f} \right ] "= \exp \left [ \int d^{4}x\frac{\boldsymbol{\theta }_{0}^{2}}{2\epsilon } \right ]\left | \mathrm{Det}\left ( -\boldsymbol{D}_{\mu }\frac{\delta \boldsymbol{F}\left ( \boldsymbol{A}^{\theta } \right )}{\delta \boldsymbol{A}_{\mu }^{\theta }} \right ) \right |\int \mathcal{D}\boldsymbol{\theta }\exp \left [ -\int d^{4}x\frac{\boldsymbol{\theta }^{2}}{2\epsilon } \right ]\delta \left [ \boldsymbol{F}\left ( \boldsymbol{A}^{\theta } \right )-\boldsymbol{f} \right ]")
が得られました。（う～ん、、ちょっと、納得し難いところがあります。。）
今日はこの辺で。。
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ヤン-ミルズ場の共変ゲージ固定での経路積分表示が
で与えられることを示せ。
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「ゲージ原理とゲージ場（４-３）」http://teenaka.at.webry.info/201112/article_17.html にあるように無限小非可換を考えます。
このとき、恒等式
に相当するのは、
というとのことです。
注）θ(x) が無限小であることを保証するために、無限小のεで特徴づけられるガウス型関数を挿入してある。
ヤン-ミルズ場の FP 行列式の表式（「ゲージ場の量子化（２-２）」http://teenaka.at.webry.info/201201/article_35.html 参照）
は、無限小ゲージ変換
より、
であり、後で練習問題で扱いますが、共変微分が部分積分を満たすことを考慮すると、
となります。
そうすると、
が得られました。（う～ん、、ちょっと、納得し難いところがあります。。）
今日はこの辺で。。
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